Divergente e rotacional. Calcule explicitamente o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais (a) J=a(x i+y j) / r^2 e (b) J=a(y i-x j) / r^2. © Por fim, calcule o divergente e o rotacional do campo de velocidades v(r, t)=omega times r dos pontos de um corpo rígido que roda com velocidade angular omega.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular o divergente
nablacdotJ =partial Jxpartial x +partial Jypartial y +partial Jzpartial z,
e o rotacional
(nablatimesJ)i =varepsiloni j k,partialj Jk,
de alguns campos vetoriais. Isso é cálculo vetorial puro: a definição do divergente em coordenadas cartesianas é
nablatimesJ =l( partialyJz-partialzJy ,, partialzJx-partialxJz ,, partialxJy-partialyJx r)
e a do rotacional é
ou, de maneira mais “manual”,
Para resolver, vamos usar regra do quociente (derivada de ) e lembrar que

e
, etc.

Passo 2

Parte (a), divergente de
nablacdotJ =al[ r^2-2x^2r^4 +r^2-2y^2r^4 r] =al(2r^2-2(x^2+y^2)r)r^4 =2a,z^2r^4 .
Aqui , , .
Aplicando

e
,
temos

Passo 3

Ainda (a), agora o rotacional
nablatimesJ =l( partialyJz-partialzJy ,, partialzJx-partialxJz ,, partialxJy-partialyJx r)
Como nablatimesJ =l( 2a,yzr^4,; -2a,xzr^4,; 0 r) , vários termos somem e usando
,
,
,
,
ficamos com

Passo 4

Parte (b), divergente de
nablacdotJ =al[-2xyr^4+2xyr^4r] =0
Aqui

e
,
então

Passo 5

Ainda (b), rotacional de
(nablatimesJ)x =-partialzl(-a,tfracxr^2r) =-2a,xzr^4, .
Usando os mesmos derivados parciais de antes,
(nablatimesJ)y =partialzl(a,tfracyr^2r) =-2a,yzr^4,
(nablatimesJ)z =partialxl(-a,tfracxr^2r) -partialyl(a,tfracyr^2r) =-2a,z^2r^4
nablatimesJ =l( -2a,xzr^4, ,-2a,yzr^4, ,-2a,z^2r^4 r)
Ou seja

Passo 6

Parte ©, campo de um corpo rígido girando:
,
com constante.
  1. Divergente: em geral porque é divergente de um rotacional (ou por conta de ).
  2. Rotacional:
    .
    Isso pode ser mostrado por componentes ou lembrando-se da propriedade de sólidos rígidos (o campo é uma rotação pura).

Resposta

(a)
nablacdotJ =2a,z^2r^4, nablatimesJ =l(2atfracyzr^4,,-2atfracxzr^4,,0r)
(b)
nablacdotJ=0, nablatimesJ =l(-2atfracxzr^4,,-2atfracyzr^4,,-2atfracz^2r^4r)
©
nablacdotv=0, nablatimesv=2,omega

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