Divergente e rotacional. Calcule explicitamente o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais (a)
e (b)
. © Por fim, calcule o divergente e o rotacional do campo de velocidades
dos pontos de um corpo rígido que roda com velocidade angular
.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é calcular o divergente
e o rotacional
de alguns campos vetoriais. Isso é cálculo vetorial puro: a definição do divergente em coordenadas cartesianas é
e o rotacional
de alguns campos vetoriais. Isso é cálculo vetorial puro: a definição do divergente em coordenadas cartesianas é
e a do rotacional é
ou, de maneira mais “manual”,
Para resolver, vamos usar regra do quociente (derivada de
) e lembrar que
e
, etc.
e
Passo 2
Parte (a), divergente de
.
Aqui ,
,
.
Aplicando
e
,
temos
Aqui
Aplicando
e
temos
Passo 3
Ainda (a), agora o rotacional
Como
, vários termos somem e usando
,
,
,
,
ficamos com
ficamos com
Passo 4
Parte (b), divergente de
Aqui
e
,
então
Aqui
e
então
Passo 5
Ainda (b), rotacional de
.
Usando os mesmos derivados parciais de antes,
Usando os mesmos derivados parciais de antes,
Ou seja
Passo 6
Parte ©, campo de um corpo rígido girando:
,
com constante.
com
- Divergente: em geral
porque é divergente de um rotacional (ou por conta de ). - Rotacional:
.
Isso pode ser mostrado por componentes ou lembrando-se da propriedade de sólidos rígidos (o campo é uma rotação pura).
Resposta
(a)
(b)
©