ointA D cdot n d A=q, onde D=epsilon0 E+P,
é o deslocamento elétrico, em termos do campo eletrostático E e da polarização elétrica P. (a) Use o teorema da divergência para mostrar que nessa situação nabla cdot D= rho, onde rho denota a densidade de carga.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente já tem a forma integral de Gauss para o vetor deslocamento elétrico
ointA Dcdotn,dA ;=; q,
sendo nablacdotD ;=;rho, . O que pedem é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss) para mostrar que, na forma local (diferencial),
onde é a densidade volumétrica de carga.
Conteúdo: cálculo vetorial (Teorema da Divergência) e lei de Gauss em eletrostática.

Passo 2

Lembra do Teorema da Divergência? Ele diz que para qualquer campo vetorial ointAFcdotn,dA ;=; integralVnablacdotF,dV e região volumétrica ointADcdotn,dA = integralVnablacdotD,dV com fronteira , vale

Aqui basta escolher . Então
[
\oint_{A}\mathbf{D}\cdot\hat{\mathbf{n}},dA

\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{D},dV.
]

Passo 3

Por outro lado, o enunciado diz que aquele fluxo de q ;=;integralVrho,dV, dá exatamente a carga total integralVnablacdotD,dV ;=; integralVrho,dV dentro de nablacdotD ;=;rho . E a gente sabe que
porque é densidade de carga.
Logo, igualando as duas expressões de :
Como isso vale para qualquer volume , os integrandos têm de ser iguais ponto a ponto:

Resposta

boxednablacdotD = rho

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