é o deslocamento elétrico, em termos do campo eletrostático
e da polarização elétrica
. (a) Use o teorema da divergência para mostrar que nessa situação
, onde
denota a densidade de carga.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente já tem a forma integral de Gauss para o vetor deslocamento elétrico
sendo
. O que pedem é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss) para mostrar que, na forma local (diferencial),
onde
é a densidade volumétrica de carga.
Conteúdo: cálculo vetorial (Teorema da Divergência) e lei de Gauss em eletrostática.
Conteúdo: cálculo vetorial (Teorema da Divergência) e lei de Gauss em eletrostática.
Passo 2
Lembra do Teorema da Divergência? Ele diz que para qualquer campo vetorial
e região volumétrica
com fronteira
, vale
Aqui basta escolher
. Então
[
\oint_{A}\mathbf{D}\cdot\hat{\mathbf{n}},dA
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{D},dV.
]
]
Passo 3
Por outro lado, o enunciado diz que aquele fluxo de
dá exatamente a carga total
dentro de
. E a gente sabe que
porque
é densidade de carga.
Logo, igualando as duas expressões de :
Logo, igualando as duas expressões de
Como isso vale para qualquer volume
, os integrandos têm de ser iguais ponto a ponto: