Diversas políticas em relação às filiais de uma rede de supermercados estão associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Uma pesquisa em duas novas filiais revelou os seguintes dados:
Filial Dados da amostra
Tamanho Média Desvio-padrão
A 46 123,45 10,2
B 51 131,64 13,9
(b) Ache um intervalo de confiança de 95 \% para o gasto médio dos clientes da filial B.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para o gasto médio dos clientes da filial B. Os dados da amostra (peguei do enunciado) são:
  • Tamanho da amostra: n=51.
  • Média amostral: \bar{x}=131{,}64.
  • Desvio-padrão amostral: s=13{,}9.
Portanto, a pergunta é: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu da filial B usando esses dados.

Passo 2

Qual método usar? Aqui a variância populacional é desconhecida e temos o desvio-padrão amostral s. Nesses casos usa-se a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança para a média é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Vou explicar cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa pontual de \mu).
  • s é o desvio-padrão da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (medida de incerteza da média).
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade; para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e usamos t_{0{,}975,\,n-1}.

Passo 3

Calcular os parâmetros para aplicar a fórmula:
  • Graus de liberdade: n-1=51-1=50.
  • Para nível 95\% temos \alpha=0{,}05 e precisamos de t_{0{,}975,\,50}. Consultando uma tabela t ou calculadora obtém-se aproximadamente
t_{0{,}975,\,50}\approx 2{,}0096.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{13{,}9}{\sqrt{51}}.
Agora calcule \sqrt{51}. Uma boa aproximação é
\sqrt{51}\approx 7{,}1414.
Dividindo:
\text{SE}\approx\frac{13{,}9}{7{,}1414}\approx 1{,}9463.
(Verificação rápida: 7{,}1414\times 1{,}9463\approx 13{,}90.)

Passo 5

Calcular a margem de erro multiplicando o t-crítico pelo erro padrão:
\text{margem}=t_{0{,}975,50}\cdot\text{SE}\approx 2{,}0096\times 1{,}9463.
Fazendo a multiplicação:
2{,}0096\times 1{,}9463 \approx 3{,}9113.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem à média:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}\approx 131{,}64-3{,}9113\approx 127{,}7287,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}\approx 131{,}64+3{,}9113\approx 135{,}5513.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos o intervalo
[127{,}73,\;135{,}55].

Passo 7

Interpretação didática e intuitiva: esse intervalo significa que, com 95\% de confiança (ou seja, em repetidas amostragens semelhantes, 95\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira média populacional), a média do gasto por compra dos clientes da filial B está entre \,127{,}73 e \,135{,}55 (unidades monetárias).

Resposta

[127{,}73,\;135{,}55]

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