Intervalo de confiança assimétrico. O tempo de execução de determinado teste de aptidão para ingresso em um estágio é normalmente distribuído com desvio padrão de 10 minutos. Uma amostra de 25 candidatos apresentou um tempo médio de 55 minutos. Construa, detalhadamente, um intervalo de confiança de limites L_{1} e L_{2}\left(L_{1}<L_{2}\right), de modo que seja observada a seguinte especificação: à desconfiança de que \mu<L_{1} atribuiremos um nível de significância de 5 \% e à desconfiança de que \mu>L_{2} atribuiremos o nível de significância de 10 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Desvio padrão populacional: \sigma=10 minutos.
    • Tamanho da amostra: n=25.
    • Média amostral observada: \bar{x}=55 minutos.
  • O enunciado pede um intervalo de confiança assimétrico com limites L_{1} e L_{2} (com L_{1}<L_{2}) tal que:
    • À desconfiança de que \mu<L_{1} atribuamos nível de significância 5\%. (Vou chamar isso de \alpha_{\text{left}}=0,05.)
    • À desconfiança de que \mu>L_{2} atribuamos nível de significância 10\%. (Vou chamar isso de \alpha_{\text{right}}=0,10.)
A resolução começa a partir desses dados no próximo passo.

Passo 2

Entender a distribuição da média amostral e o erro padrão.
  • Para uma população normal com desvio padrão conhecido \sigma, a média amostral \bar{X} segue
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
  • O erro padrão da média (desvio padrão de \bar{X}) é
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Substituindo os valores dados:
\text{SE}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2\\ \text{minutos}.
Explicação rápida e amigável: isso significa que, para qualquer valor real de \mu, as médias amostrais que esperaríamos obter variam em torno de \mu com desvio típico 2 minutos. Esse número é a régua que vamos usar para transformar diferenças em z‑scores.

Passo 3

Como construir limites assimétricos por inversão de testes unilaterais (motivo e fórmula).
  • Ideia: um limite inferior L_{1} que corresponda a um teste unilateral à esquerda com nível \alpha_{\text{left}} é obtido invertendo-se esse teste. O resultado padrão (conhecido e que vamos justificar) é:
L_{1}=\bar{x}-z_{1-\alpha_{\text{left}}}\cdot\text{SE},
onde z_{1-\alpha_{\text{left}}} é o quantil de nível 1-\alpha_{\text{left}} da distribuição normal padrão (isto é, \Phi(z_{1-\alpha_{\text{left}}})=1-\alpha_{\text{left}}).
  • Razão (derivação curta, sem pular passos): considere o evento
\bar{X}-z_{1-\alpha_{\text{left}}}\cdot\text{SE}\le\mu.
Dividindo por \text{SE} e reorganizando:
\frac{\bar{X}-\mu}{\text{SE}}\le z_{1-\alpha_{\text{left}}}.
Como \dfrac{\bar{X}-\mu}{\text{SE}}\sim N(0,1), a probabilidade desse evento é \Phi(z_{1-\alpha_{\text{left}}})=1-\alpha_{\text{left}}. Ou seja, com probabilidade 1-\alpha_{\text{left}} o número aleatório \bar{X}-z_{1-\alpha_{\text{left}}}\cdot\text{SE} fica abaixo de \mu, logo ele é um limite inferior com nível de confiança 1-\alpha_{\text{left}}.
  • Analogamente, um limite superior L_{2} correspondente a um teste unilateral à direita com nível \alpha_{\text{right}} é
L_{2}=\bar{x}+z_{1-\alpha_{\text{right}}}\cdot\text{SE}.
A justificativa é análoga: P\big(\mu\le\bar{X}+z_{1-\alpha_{\text{right}}}\cdot\text{SE}\big)=1-\alpha_{\text{right}}.
Observação prática: aqui estamos invertendo dois testes unilaterais com níveis diferentes, obtendo assim um intervalo assimétrico. A probabilidade de cobertura bilateral desse intervalo é
P\big(L_{1}\le\mu\le L_{2}\big)=1-\alpha_{\text{left}}-\alpha_{\text{right}}.
No nosso caso isso será 1-0,05-0,10=0,85, ou seja, intervalo com cobertura 85\%.

Passo 4

Determinar os quantis z_{1-\alpha} e calcular L_{1} e L_{2}.
  • Temos \alpha_{\text{left}}=0,05 e \alpha_{\text{right}}=0,10.
  • Os quantis da normal padrão (valores tabelados ou calculadora) são:
    • z_{1-0,05}=z_{0,95}\approx 1{,}645.
    • z_{1-0,10}=z_{0,90}\approx 1{,}282.
      (Pequena nota: valores mais precisos seriam z_{0,95}\approx1{,}6448536 e z_{0,90}\approx1{,}2815516; aqui arredondei para 3 casas significativas, suficiente para uma prova.)
  • Já obtivemos \text{SE}=2 minutos e \bar{x}=55. Agora aplicamos as fórmulas:
L_{1}=\bar{x}-z_{0,95}\cdot\text{SE}=55-1{,}645\cdot 2.
Calcule passo a passo:
1{,}645\cdot 2=3{,}29,
L_{1}=55-3{,}29=51{,}71\\ \text{minutos}.
  • Para L_{2}:
L_{2}=\bar{x}+z_{0,90}\cdot\text{SE}=55+1{,}282\cdot 2.
Calcule passo a passo:
1{,}282\cdot 2=2{,}564\\ (\text{arredondando}\\\ 2{,}5632\\ \text{se usasse mais casas}),
L_{2}=55+2{,}564=57{,}564\\ \text{minutos}.
Arredondando de modo agradável para duas casas decimais:
L_{2}\approx 57{,}56\\ \text{minutos}.

Passo 5

Interpretação final e verificação da consistência.
  • O intervalo assimétrico obtido é aproximadamente [51{,}71,\;57{,}56] minutos.
  • Significados:
    • Se considerarmos o limite inferior L_{1}=51{,}71, então um teste unilateral à esquerda (H0: \mu\ge L_{1} versus H1: \mu<L_{1}) teria nível de significância \alpha=0,05.
    • Se considerarmos o limite superior L_{2}=57{,}56, então um teste unilateral à direita (H0: \mu\le L_{2} versus H1: \mu>L_{2}) teria nível de significância \alpha=0,10.
  • Cobertura bilateral: a probabilidade de que o intervalo contenha o verdadeiro \mu é 1-0,05-0,10=0,85, ou seja, é um intervalo de confiança com confiança global de 85\%.
  • Comentário de ânimo: pronto — construímos o intervalo invertendo testes unilaterais com níveis diferentes. Se na prova vier parecido, basta lembrar da fórmula L_{1}=\bar{x}-z_{1-\alpha_{\text{left}}}\,\text{SE} e L_{2}=\bar{x}+z_{1-\alpha_{\text{right}}}\,\text{SE}, calcular o \text{SE} e buscar os z-quantis.

Resposta

L_{1}=51{,}71\\ \text{minutos}
L_{2}=57{,}56\\ \text{minutos}

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