Intervalo de confiança assimétrico. O tempo de execução de determinado teste de aptidão para ingresso em um estágio é normalmente distribuído com desvio padrão de 10 minutos. Uma amostra de 25 candidatos apresentou um tempo médio de 55 minutos. Construa, detalhadamente, um intervalo de confiança de limites
e
, de modo que seja observada a seguinte especificação: à desconfiança de que
atribuiremos um nível de significância de
e à desconfiança de que
atribuiremos o nível de significância de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Desvio padrão populacional:
minutos. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada:
minutos.
- Desvio padrão populacional:
- O enunciado pede um intervalo de confiança assimétrico com limites
e (com ) tal que: - À desconfiança de que
atribuamos nível de significância . (Vou chamar isso de .) - À desconfiança de que
atribuamos nível de significância . (Vou chamar isso de .)
- À desconfiança de que
A resolução começa a partir desses dados no próximo passo.
Passo 2
Entender a distribuição da média amostral e o erro padrão.
- Para uma população normal com desvio padrão conhecido
, a média amostral segue
- O erro padrão da média (desvio padrão de
) é
- Substituindo os valores dados:
Explicação rápida e amigável: isso significa que, para qualquer valor real de
, as médias amostrais que esperaríamos obter variam em torno de
com desvio típico
minutos. Esse número é a régua que vamos usar para transformar diferenças em z‑scores.
Passo 3
Como construir limites assimétricos por inversão de testes unilaterais (motivo e fórmula).
- Ideia: um limite inferior
que corresponda a um teste unilateral à esquerda com nível é obtido invertendo-se esse teste. O resultado padrão (conhecido e que vamos justificar) é:
onde
é o quantil de nível
da distribuição normal padrão (isto é,
).
- Razão (derivação curta, sem pular passos): considere o evento
Dividindo por
e reorganizando:
Como
, a probabilidade desse evento é
. Ou seja, com probabilidade
o número aleatório
fica abaixo de
, logo ele é um limite inferior com nível de confiança
.
- Analogamente, um limite superior
correspondente a um teste unilateral à direita com nível é
A justificativa é análoga:
.
Observação prática: aqui estamos invertendo dois testes unilaterais com níveis diferentes, obtendo assim um intervalo assimétrico. A probabilidade de cobertura bilateral desse intervalo é
No nosso caso isso será
, ou seja, intervalo com cobertura
.
Passo 4
Determinar os quantis
e calcular
e
.
- Temos
e . - Os quantis da normal padrão (valores tabelados ou calculadora) são:
-
. -
.
(Pequena nota: valores mais precisos seriame ; aqui arredondei para 3 casas significativas, suficiente para uma prova.)
-
- Já obtivemos
minutos e . Agora aplicamos as fórmulas:
Calcule passo a passo:
- Para
:
Calcule passo a passo:
Arredondando de modo agradável para duas casas decimais:
Passo 5
Interpretação final e verificação da consistência.
- O intervalo assimétrico obtido é aproximadamente
minutos. - Significados:
- Se considerarmos o limite inferior
, então um teste unilateral à esquerda (H0: versus H1: ) teria nível de significância . - Se considerarmos o limite superior
, então um teste unilateral à direita (H0: versus H1: ) teria nível de significância .
- Se considerarmos o limite inferior
- Cobertura bilateral: a probabilidade de que o intervalo contenha o verdadeiro
é , ou seja, é um intervalo de confiança com confiança global de . - Comentário de ânimo: pronto — construímos o intervalo invertendo testes unilaterais com níveis diferentes. Se na prova vier parecido, basta lembrar da fórmula
e , calcular o e buscar os -quantis.