Diversas políticas em relação às filiais de uma rede de supermercados estão associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Uma pesquisa em duas novas filiais revelou os seguintes dados:
Filial
Dados da amostra
Tamanho
Média
Desvio-padrão
A
46
123,45
10,2
B
51
131,64
13,9
(a) Ache um intervalo de confiança de
para o gasto médio dos clientes da filial A.
| Filial | Dados da amostra | ||
| Tamanho | Média | Desvio-padrão | |
| A | 46 | 123,45 | 10,2 |
| B | 51 | 131,64 | 13,9 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (tirei estes números do enunciado):
- Pedido: um intervalo de confiança de
para o gasto médio dos clientes da filial A. - Dados da amostra da filial A:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão amostral:
.
- Tamanho da amostra:
- Nível de confiança:
, ou seja, e .
Passo 2
Qual método usar e por quê:
- Como o desvio-padrão populacional não foi informado (temos só
) e o tamanho da amostra é finito, devemos usar a distribuição de Student para construir o intervalo de confiança para a média. - O grau de liberdade é
.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança (explicando cada símbolo):
Onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade, correspondente à cauda superior de área (aqui ou, em termos de nível, ); -
é o desvio-padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro-padrão da média (mostra a variação esperada da média amostral).
Passo 4
Calcular o erro-padrão
:
Explicando: primeiro calcula-se a raiz quadrada de
, depois divide-se o desvio amostral por essa raiz para obter o erro-padrão.
Passo 5
Obter o valor crítico
:
- Consultando uma tabela de
(ou calculadora estatística) para e nível bilateral (ou seja, cauda superior ), encontra-se
Observação: para amostras muito grandes esse valor tende a
, mas com
o valor é ligeiramente maior.
Passo 6
Calcular a margem de erro
:
Mostrei a multiplicação:
.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança e arredondar de forma prática (duas casas decimais, formato de moeda):
Interpretação rápida: com
de confiança, o verdadeiro gasto médio dos clientes da filial A está entre
e
(nas mesmas unidades dos dados).