Diversas políticas em relação às filiais de uma rede de supermercados estão associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Uma pesquisa em duas novas filiais revelou os seguintes dados:
Filial Dados da amostra
Tamanho Média Desvio-padrão
A 46 123,45 10,2
B 51 131,64 13,9
(a) Ache um intervalo de confiança de 95 \% para o gasto médio dos clientes da filial A.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (tirei estes números do enunciado):
  • Pedido: um intervalo de confiança de 95\% para o gasto médio dos clientes da filial A.
  • Dados da amostra da filial A:
    • Tamanho da amostra: n=46.
    • Média amostral: \bar{x}=123,45.
    • Desvio-padrão amostral: s=10,2.
  • Nível de confiança: 95\%, ou seja, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.

Passo 2

Qual método usar e por quê:
  • Como o desvio-padrão populacional não foi informado (temos só s) e o tamanho da amostra é finito, devemos usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança para a média.
  • O grau de liberdade é df=n-1=46-1=45.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (explicando cada símbolo):
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,df}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=123,45);
  • t_{\alpha/2,\,df} é o quantil da distribuição t com df graus de liberdade, correspondente à cauda superior de área \alpha/2 (aqui t_{0,025,45} ou, em termos de nível, t_{0,975,45});
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui 10,2);
  • n é o tamanho da amostra (aqui 46);
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro-padrão da média (mostra a variação esperada da média amostral).

Passo 4

Calcular o erro-padrão \dfrac{s}{\sqrt{n}}:
\sqrt{n}=\sqrt{46}\approx6,7823,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10,2}{6,7823}\approx1,503.
Explicando: primeiro calcula-se a raiz quadrada de n, depois divide-se o desvio amostral por essa raiz para obter o erro-padrão.

Passo 5

Obter o valor crítico t_{0,975,45}:
  • Consultando uma tabela de t (ou calculadora estatística) para df=45 e nível bilateral 95\% (ou seja, cauda superior 0,025), encontra-se
t_{0,975,45}\approx2,014.
Observação: para amostras muito grandes esse valor tende a 1,96, mas com df=45 o valor é ligeiramente maior.

Passo 6

Calcular a margem de erro E:
E = t_{0,975,45}\times\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,014\times1,503\approx3,027.
Mostrei a multiplicação: 2,014\cdot1,503\approx3,027.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança e arredondar de forma prática (duas casas decimais, formato de moeda):
\text{Limite inferior}=\bar{x}-E=123,45-3,027\approx120,42,
\text{Limite superior}=\bar{x}+E=123,45+3,027\approx126,48.
Interpretação rápida: com 95\% de confiança, o verdadeiro gasto médio dos clientes da filial A está entre 120,42 e 126,48 (nas mesmas unidades dos dados).

Resposta

\\ [120,42,\;126,48]\

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