Diversas políticas em relação às filiais de uma rede de supermercados estão associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Uma pesquisa em duas novas filiais revelou os seguintes dados:
Filial Dados da amostra
Tamanho Média Desvio-padrão
A 46 123,45 10,2
B 51 131,64 13,9
(c) Há alguma evidência que sugira que os gastos médios nas duas filiais sejam diferentes?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei os números do enunciado).
  • Filial A: tamanho da amostra n_1=46, média amostral \bar{x}_1=123,45, desvio-padrão amostral s_1=10,2.
  • Filial B: tamanho da amostra n_2=51, média amostral \bar{x}_2=131,64, desvio-padrão amostral s_2=13,9.
O que o item (c) pede: verificar se há evidência de que os gastos médios nas duas filiais sejam diferentes. Ou seja, testar se as médias populacionais são diferentes com base nas amostras fornecidas.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e justificativa). Aqui queremos comparar duas médias independentes. Há duas versões clássicas:
  • teste t pareado (não aplicável — amostras são independentes);
  • teste t de duas amostras com variância assumida igual (teste t pooled) ou com variâncias diferentes (teste de Welch).
Como os desvios-padrão amostrais são bastante diferentes ( s_1=10,2 versus s_2=13,9) e as amostras têm tamanhos parecidos mas distintos, a escolha mais segura é o teste de Welch, que não assume variâncias iguais. Vou usar o teste de Welch (teste t para duas amostras com variâncias desiguais). Vou trabalhar com um nível de significância padrão \alpha=0,05 e teste bilateral (porque a pergunta é se são diferentes, sem especificar direção).

Passo 3

Formulação das hipóteses (explicando o significado).
  • Hipótese nula: as médias são iguais.
H_0:\\ \mu_1=\mu_2
  • Hipótese alternativa (bilateral): as médias são diferentes.
H_1:\\ \mu_1\neq\mu_2
Decisão: rejeitar H_0 se a estatística de teste for muito extrema (em módulo) ou se o p-valor for menor que \alpha.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste (aulasinha).
  • No teste de Welch a estatística t é dada por
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}}}
Onde:
  • \bar{x}_1,\bar{x}_2 são as médias amostrais;
  • s_1^{2},s_2^{2} são as variâncias amostrais ( s^2 é o quadrado do desvio-padrão);
  • n_1,n_2 são os tamanhos das amostras;
  • O denominador é o erro-padrão da diferença entre médias quando não se assume variâncias iguais.
Vou calcular passo a passo os componentes.

Passo 5

Calcular as variâncias amostrais e os termos intermediários:
s_1^{2}=(10,2)^{2}=104,04
s_2^{2}=(13,9)^{2}=193,21
Agora os termos dentro da raiz:
\frac{s_1^{2}}{n_1}=\frac{104,04}{46}\approx 2,26174
\frac{s_2^{2}}{n_2}=\frac{193,21}{51}\approx 3,78706
Somando:
\frac{s_1^{2}}{n_1}+\frac{s_2^{2}}{n_2}\approx 2,26174+3,78706=6,04880
Portanto o erro-padrão (denominador) é
\sqrt{6,04880}\approx 2,459

Passo 6

Calcular a estatística t.
Primeiro a diferença das médias:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=123,45-131,64=-8,19
Agora
t=\frac{-8,19}{2,459}\approx -3,33.
Interpretação simples: a diferença observada é aproximadamente -3,33 erros-padrão abaixo de zero.

Passo 7

Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch) — explico o porquê e calculo detalhado.
  • A fórmula de Welch para graus de liberdade ( \nu) é
\nu=\frac{\left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{s_1^{4}}{n_1^{2}(n_1-1)}+\dfrac{s_2^{4}}{n_2^{2}(n_2-1)}}
Já calculamos o numerador: \left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}\approx (6,04880)^{2}\approx 36,588.
Agora o denominador — calculo em partes:
s_1^{4}=(104,04)^{2}=10824,3216
s_2^{4}=(193,21)^{2}=37330,1041
\frac{s_1^{4}}{n_1^{2}(n_1-1)}=\frac{10824,3216}{46^{2}\cdot 45}=\frac{10824,3216}{95220}\approx 0,11366
\frac{s_2^{4}}{n_2^{2}(n_2-1)}=\frac{37330,1041}{51^{2}\cdot 50}=\frac{37330,1041}{130050}\approx 0,28710
Somando:
0,11366+0,28710\approx 0,40076
Logo
\nu\approx\frac{36,588}{0,40076}\approx 91,3.
Portanto usamos aproximadamente \nu\approx 91 graus de liberdade para comparar a estatística t.

Passo 8

Obtenção do p-valor e decisão (explico o que significa).
  • Temos t\approx -3,33 com \nu\approx 91. O teste é bilateral, então o p-valor é 2 vezes a probabilidade da cauda correspondente a t\le -3,33.
  • Para \nu grande, a cauda é próxima da normal; usando tabelas ou aproximação, para t=3,33 e \nu\approx 91 obtemos um p-valor aproximado p\approx 0,001 (aproximadamente entre 0,001 e 0,002, aqui arredondando: p\approx 0,001).
Comparando com \alpha=0,05:
p\approx 0,001 < 0,05,
logo rejeitamos H_0. Em termos práticos: há evidência estatística forte, ao nível de 5\%, de que as médias dos gastos nas duas filiais são diferentes.

Passo 9

Interpretação final em linguagem simples e motivadora.
  • Resultado: a diferença amostral de -8,19 reais entre as médias é estatisticamente significativa — não é plausível que tenha ocorrido apenas por acaso segundo o teste usado.
  • Conclusão prática: há evidência de que a filial B tem gasto médio maior que a filial A (a média amostral de B é maior), e essa diferença é estatisticamente significativa.
  • Observação adicional: usei o teste de Welch (robusto quando as variâncias não são iguais). Se alguém preferir um teste com suposição de variâncias iguais, o resultado tende a ser similar aqui, mas a escolha de Welch é mais segura.

Resposta

Sim. Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05; teste de Welch: t\approx -3,33, gl \approx 91, p\approx 0,001. Há evidência de que as médias são diferentes.

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