Diversos aparelhos, como painéis solares, televisões de LCD e plasma, iluminações urbanas e outros, têm seu funcionamento baseado no efeito fotoelétrico, no qual elétrons são arrancados de uma superfície metálica pela incidência de radiação eletromagnética. Para que ocorra efeito fotoelétrico, a energia de um fóton, dada por hf, sendo h a constante de Planck e f a frequência da radiação eletromagnética, deve ser superior a uma energia mínima, conhecida como função trabalho, \varphi, que é uma quantidade dependente do material. A tabela a seguir mostra a função trabalho de alguns materiais.
Material \varphi \mathrm{eV}
Platina 5,8
Tungstênio 4,5
Alumínio 4,2
Bário 2,5
Potássio 2,3

Note e adote:

Constante de Planck: \mathrm{h}=4 \times 10^{-15} \mathrm{eVs}.
Velocidade da luz no vácuo: \mathrm{c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Considere uma placa de alumínio inicialmente carregada eletricamente. A fim de saber se a placa foi carregada positivamente ou negativamente, incide-se luz ultravioleta sobre sua superfície. Após certo tempo, verifica-se que a placa está neutra. Qual era o sinal da carga elétrica inicialmente na placa? Justifique a sua resposta.
b) Deseja-se escolher um material para uma célula fotoelétrica que funcione com luz verde de frequência \mathrm{f}=6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}. Qual(is) dos materiais da tabela funcionaria(m) como uma célula fotoelétrica? Justifique a sua resposta.
c) Caso a energia de um fóton seja superior à função trabalho, o elétron será emitido com energia cinética adicional. Determine a energia cinética (em eV) de um elétron quando uma luz de comprimento de onda 400 nm incide sobre uma superfície de bário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores das funções trabalho na tabela do enunciado).
  • Dados fornecidos na tabela (função trabalho \varphi, em electronvolts):
    • Platina: \varphi=5,8\\ \text{eV}.
    • Tungstênio: \varphi=4,5\\ \text{eV}.
    • Alumínio: \varphi=4,2\\ \text{eV}.
    • Bário: \varphi=2,5\\ \text{eV}.
    • Potássio: \varphi=2,3\\ \text{eV}.
  • Constantes dadas:
    • Constante de Planck: h=4\times10^{-15}\\ \text{eV}\cdot\text{s}.
    • Velocidade da luz: c=3\times10^{8}\\ \text{m/s}.
  • Perguntas:
    a) Uma placa de alumínio foi iluminada por luz ultravioleta e passou a ficar neutra. Qual era o sinal da carga inicial da placa? Justifique.
    b) Para luz verde com frequência f=6\times10^{14}\\ \text{Hz}, quais materiais da tabela funcionariam como célula fotoelétrica? Justifique.
    c) Qual é a energia cinética (em eV) do elétron quando uma luz de comprimento de onda \lambda=400\\ \text{nm} incide sobre uma superfície de bário?

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática, bem mastigada).
  • O efeito fotoelétrico: um fóton que incide sobre um metal pode arrancar um elétron se a energia do fóton for pelo menos igual à função trabalho do metal. A energia do fóton é dada por
E_{\text{fóton}} = h f,ó
onde h é a constante de Planck e f é a frequência da luz. Se a luz for descrita por comprimento de onda \lambda, usa-se
f=\frac{c}{\lambda}
e, combinando,
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda}.ó
  • Unidade: como h foi dada em \text{eV}\cdot\text{s}, o produto h f já fornece energia em \text{eV}, o que facilita comparar diretamente com \varphi (em eV).
  • Condição para emissão de elétrons: os elétrons são emitidos se
E_{\text{fóton}}\ge\varphi.ó
  • Energia cinética máxima do elétron emitido (lei de Einstein para o efeito fotoelétrico):
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \varphi.ó
Isto significa: o fóton dá sua energia ao elétron; uma parte \varphi foi gasta para arrancá-lo do metal (vencendo a atração dentro do metal) e o resto aparece como energia cinética do elétron.

Passo 3

Resolvendo a letra (a) passo a passo, com argumento físico e intuitivo.
  • Situação: placa de alumínio ( \phi_{\text{Al}}=4,2\\ \text{eV}) é iluminada por luz ultravioleta e, depois de um tempo, a placa fica neutra.
  • O que faz a luz ultravioleta? Se os fótons da luz ultravioleta têm energia suficiente ( E_{\text{fóton}}\ge4,2\\ \text{eV}ó), elétrons serão arrancados da placa (ou seja, elétrons saem do metal).
  • Efeito sobre a carga da placa:
    • Se a placa estiver inicialmente negativamente carregada (excesso de elétrons), arrancar elétrons diminui esse excesso. Se se arrancarem elétrons suficientes, a placa pode passar de negativa para neutra.
    • Se a placa estiver inicialmente positivamente carregada (falta de elétrons), arrancar elétrons só aumenta a deficiência de elétrons (a placa fica ainda mais positiva), portanto não se tornaria neutra por emissão fotoelétrica de seus próprios elétrons.
  • Conclusão lógica: para que a placa passe a neutra devido à emissão de elétrons, ela tinha que estar inicialmente com excesso de elétrons, ou seja, carregada negativamente.
  • Observação sobre energia: o enunciado diz que se observou neutralização pela incidência de luz ultravioleta; isso implica que a radiação usada tinha energia suficiente para provocar emissões (ou seja, E_{\text{fóton}}ó da UV usada era \ge\phi_{\text{Al}}). Mesmo que “ultravioleta” cubra uma faixa de energias, o fato experimental dado garante que fótons com energia suficiente estavam presentes.

Passo 4

Resolvendo a letra (b) — cálculo da energia do fóton da luz verde e comparação com as funções trabalho.
  • Energia do fóton de frequência f=6\times10^{14}\\ \text{Hz}:
E_{\text{fóton}} = h f = \left(4\times10^{-15}\right)\cdot\left(6\times10^{14}\right)\\ \text{eV}.ó
Faço a multiplicação:
E_{\text{fóton}} = 4\cdot6\times10^{-15+14}\\ \text{eV} = 24\times10^{-1}\\ \text{eV} = 2,4\\ \text{eV}.ó
  • Agora comparo E_{\text{fóton}}=2,4\\ \text{eV}ó com cada \varphi da tabela (peguei os valores da tabela do enunciado):
    • Platina: \varphi=5,8\\ \text{eV} \Rightarrow 2,4<5,8 → não funciona.
    • Tungstênio: \varphi=4,5\\ \text{eV} \Rightarrow 2,4<4,5 → não funciona.
    • Alumínio: \varphi=4,2\\ \text{eV} \Rightarrow 2,4<4,2 → não funciona.
    • Bário: \varphi=2,5\\ \text{eV} \Rightarrow 2,4<2,5 → não funciona (fica muito perto, mas \varphi é maior que E_{\text{fóton}}ó).
    • Potássio: \varphi=2,3\\ \text{eV} \Rightarrow 2,4\ge2,3 → funciona.
  • Conclusão: entre os materiais listados, apenas o potássio teria emissão fotoelétrica com a luz verde de f=6\times10^{14}\\ \text{Hz}, porque para ele E_{\text{fóton}}ó supera a função trabalho.

Passo 5

Resolvendo a letra (c) — cálculo da energia cinética do elétron para \lambda=400\\ \text{nm} incidindo sobre bário.
  • Primeiro calculo a energia do fóton pela fórmula com comprimento de onda (uso h em \text{eV}\cdot\text{s} e c em \text{m/s}, assim o resultado já sai em eV). Tomo \lambda=400\\ \text{nm}=400\times10^{-9}\\ \text{m}.
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda}=\frac{(4\times10^{-15})(3\times10^{8})}{400\times10^{-9}}\\ \text{eV}.ó
  • Faço as contas passo a passo:
    • Produto no numerador: (4\times10^{-15})\cdot(3\times10^{8}) = 12\times10^{-7} = 1,2\times10^{-6}.
    • Denominador: 400\times10^{-9}=4,00\times10^{-7}.
    • Divisão: \dfrac{1,2\times10^{-6}}{4,0\times10^{-7}} = \dfrac{1,2}{4,0}\times10^{-6-(-7)} = 0,3\times10^{1}=3,0\\ \text{eV}.
      Logo
E_{\text{fóton}}=3,0\\ \text{eV}.ó
  • Função trabalho do bário (peguei da tabela): \phi_{\text{Ba}}=2,5\\ \text{eV}.
  • Energia cinética máxima do elétron:
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \phi_{\text{Ba}} = 3,0 - 2,5 = 0,5\\ \text{eV}.ó
  • Interpretação: cada fóton de \lambda=400\\ \text{nm} que ejetar um elétron do bário deixará esse elétron com 0,5\\ \text{eV} de energia cinética máxima (valor pequeno, mas positivo, então a emissão ocorre).

Resposta

a) Negativa.
b) Potássio.
c) 0,5\\ \text{eV}

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