QUESTÃO 44

Em uma residência foi instalado um detector para indicar a passagem das pessoas. Esse detector era composto de um emissor, que emitia ondas eletromagnéticas de comprimento de onda igual a 21 \mu \mathrm{~m}, e de um receptor que recebia um sinal com potência igual a 0,2 \mathrm{~mW}, originado do emissor quando não havia uma pessoa entre o emissor e o receptor. Determine o número de fótons que é percebido, por segundo, pelo receptor. Adote:
Velocidade da luz no meio =3 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Constante de Planck =7 \cdot 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}
a) 1 \cdot 10^{-20}
b) 2 \cdot 10^{-4}
c) 7 \cdot 10^{10}
d) 2 \cdot 10^{16}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o número de fótons percebidos por segundo pelo receptor. Os dados fornecidos são (peguei todos do enunciado):
  • comprimento de onda: \;21\\ \mu\mathrm{m};
  • potência do sinal recebido: \;0,2\\ \mathrm{mW};
  • velocidade da luz no meio: \;3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s};
  • constante de Planck: \;7\cdot10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 2

Conceito importante — energia de um fóton. Cada fóton de luz com comprimento de onda \lambda tem energia dada por
E = h\nu,
onde \;h é a constante de Planck e \nu é a frequência. Como \nu = \dfrac{c}{\lambda} (relação entre frequência, velocidade de propagação c e comprimento de onda \lambda), obtemos a fórmula prática
E = \frac{h\,c}{\lambda}.
Aqui:
  • \;E é a energia de um fóton (em joules),
  • \;h é a constante de Planck (em \mathrm{J\cdot s}),
  • \;c é a velocidade da luz no meio (em \mathrm{m/s}),
  • \;\lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).

Passo 3

Converter as unidades para o SI antes de calcular:
  • comprimento de onda: \;21\\ \mu\mathrm{m} = 21\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • potência: \;0,2\\ \mathrm{mW} = 0,2\times10^{-3}\\ \mathrm{W} = 2\times10^{-4}\\ \mathrm{W}.
    (Explicação rápida: \mathrm{mW} = 10^{-3}\\ \mathrm{W}.)

Passo 4

Calcular a energia por fóton usando \;E=\dfrac{h\,c}{\lambda}. Substituindo os valores:
h\,c = \left(7\cdot10^{-34}\right)\left(3\cdot10^{8}\right)=21\cdot10^{-26}=2{,}1\cdot10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Dividindo por \lambda=21\times10^{-6}\\ \mathrm{m}:
E=\frac{2{,}1\cdot10^{-25}}{21\cdot10^{-6}} =\frac{2{,}1}{21}\cdot10^{-25+6} =0{,}1\cdot10^{-19} =1\cdot10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Portanto cada fóton tem energia \;1\cdot10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Relação potência ↔ número de fótons por segundo. Potência é energia por unidade de tempo; se o receptor recebe potência P, então por segundo ele recebe energia P. Se cada fóton tem energia E, o número de fótons por segundo N é
N=\frac{P}{E}.
Aqui P em \mathrm{W}=\mathrm{J/s} e E em \mathrm{J}, logo N tem unidades \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Calcular N com os valores convertidos:
N=\frac{P}{E}=\frac{2\cdot10^{-4}}{1\cdot10^{-20}}=2\cdot10^{-4-(-20)}=2\cdot10^{16}.
Logo o receptor percebe 2\cdot10^{16} fótons por segundo.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a resposta corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) 2\cdot10^{16} photons/s

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