Divida 120 m de fio em 3 partes tais que a soma dos produtos das partes tomadas duas a duas seja máxima.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um fio de 120 metros e precisa cortá-lo em 3 pedaços de forma que a soma dos produtos dessas partes, pegando duas de cada vez, seja a maior possível. Isso tudo envolve um pouco de otimização matemática, onde a gente busca o melhor resultado dentro de certas condições. Para resolver, vamos precisar usar álgebra e entender como maximizar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar as três partes de x , y e z . Sabemos que a soma delas tem que ser 120 metros:
x + y + z = 120
Nosso objetivo é maximizar a soma dos produtos tomados duas a duas, que é:
S = xy + xz + yz

Passo 3

Para encontrar o valor máximo de S , podemos usar o método de substituição. Como x + y + z = 120 , podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos dizer que z = 120 - x - y . Assim, substituímos z na expressão de S :
S = xy + x(120 - x - y) + y(120 - x - y)
Depois de simplificar, a função fica em termos de duas variáveis, x e y , e podemos usar cálculo para encontrar os valores que maximizam S .

Passo 4

Ao resolver a equação resultante e encontrar os pontos críticos, percebemos que a soma dos produtos é máxima quando as três partes são iguais. Então, dividindo 120 metros por 3, cada parte fica:
x = y = z = 1203 = 40 metros
Dessa forma, a soma dos produtos será a maior possível.

Resposta

A melhor divisão é cortar o fio em 3 partes iguais de 40 metros cada.

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