Divida 120 m de fio em 3 partes tais que a soma dos produtos das partes tomadas duas a duas seja máxima.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um fio de 120 metros e precisa cortá-lo em 3 pedaços de forma que a soma dos produtos dessas partes, pegando duas de cada vez, seja a maior possível. Isso tudo envolve um pouco de otimização matemática, onde a gente busca o melhor resultado dentro de certas condições. Para resolver, vamos precisar usar álgebra e entender como maximizar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar as três partes de
,
e
. Sabemos que a soma delas tem que ser 120 metros:
Nosso objetivo é maximizar a soma dos produtos tomados duas a duas, que é:
Passo 3
Para encontrar o valor máximo de
, podemos usar o método de substituição. Como
, podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos dizer que
. Assim, substituímos
na expressão de
:
Depois de simplificar, a função fica em termos de duas variáveis,
e
, e podemos usar cálculo para encontrar os valores que maximizam
.
Passo 4
Ao resolver a equação resultante e encontrar os pontos críticos, percebemos que a soma dos produtos é máxima quando as três partes são iguais. Então, dividindo 120 metros por 3, cada parte fica:
Dessa forma, a soma dos produtos será a maior possível.
Resposta
A melhor divisão é cortar o fio em 3 partes iguais de 40 metros cada.