sendo
um número real maior que
.
- Calcule as raízes de
em função de
.
- Determine os valores de
para que
tenha quatro raízes distintas e em progressão aritmética.
Passo 1
O enunciado define o polinômio
com
. Precisamos (1) encontrar as raízes em função de
e (2) achar
para que haja quatro raízes reais, distintas e em progressão aritmética.
Passo 2
Para resolver
use a substituição
. Isso leva à equação quadrática
Aplicando a fórmula de Bhaskara em
obtemos
Como
, as duas soluções são
Passo 3
Voltemos a
. De
vem
De
(que é positivo pois
) vem
Logo as quatro raízes são
Passo 4
Para ter quatro raízes reais e distintas é necessário
e
, isto é
.
Além disso, como o coeficiente de em
é zero, a soma das raízes vale zero, logo se estiverem em progressão aritmética simétrica, devem ser
Além disso, como o coeficiente de
para algum
. Assim os módulos das raízes são
, e no nosso caso
.
Passo 5
Existem dois casos:
Caso A:
. Então
e
. Assim
Caso B:
. Então
e
. Assim
Resposta
As raízes são
Os valores de
para que haja quatro raízes reais, distintas e em progressão aritmética são