p(x)=x^4-2 m x^2+2 m-1
sendo m um número real maior que 12.
  1. Calcule as raízes de p(x) em função de m.
  2. Determine os valores de m para que p(x) tenha quatro raízes distintas e em progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado define o polinômio
p(x)=x^4-2m,x^2+2m-1
com m>tfrac12. Precisamos (1) encontrar as raízes em função de m e (2) achar m para que haja quatro raízes reais, distintas e em progressão aritmética.

Passo 2

Para resolver p(x)=0 use a substituição y=x^2. Isso leva à equação quadrática
y^2-2m,y+(2m-1)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara em y obtemos
y=2mpmraiz4m^2-4(2m-1)2 =mpmraiz,m^2-2m+1, =mpm|m-1|
Como raiz(m-1)^2=|m-1|, as duas soluções são
y1=1, y2=2m-1

Passo 3

Voltemos a x. De y1=1 vem
x^2=1;implies;x=pm1
De y2=2m-1 (que é positivo pois m>tfrac12) vem
x^2=2m-1;implies;x=pmraiz2m-1
Logo as quatro raízes são
x=pm1, x=pmraiz2m-1

Passo 4

Para ter quatro raízes reais e distintas é necessário m>tfrac12 e raiz2m-1neq1, isto é mneq1.
Além disso, como o coeficiente de x^3 em p(x) é zero, a soma das raízes vale zero, logo se estiverem em progressão aritmética simétrica, devem ser
-3r,;-r,;r,;3r
para algum r>0. Assim os módulos das raízes são r,3r, e no nosso caso ,1,raiz2m-1.

Passo 5

Existem dois casos:
Caso A: raiz2m-1>1. Então r=1 e 3r=raiz2m-1. Assim
raiz2m-1=3 ;implies; 2m-1=9 ;implies; m=5
Caso B: raiz2m-1<1. Então r=raiz2m-1 e 3r=1. Assim
3raiz2m-1=1 ;implies; 2m-1=tfrac19 ;implies; m=1+tfrac192=59

Resposta

As raízes são
x=pm1, x=pmraiz2m-1
Os valores de m para que haja quatro raízes reais, distintas e em progressão aritmética são
m=59 ou m=5

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