Divida f(x) por d(x) e escreva a função como consequência do algoritmo da divisão e também escreva a função f / d.
f(x)=x^4-2 x^3+3 x^2-4 x+6 ; d(x)=x^2+2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio f(x)=x^4-2x^3+3x^2-4x+6 pelo polinômio d(x)=x^2+2x-1. O conteúdo aqui é o algoritmo da divisão de polinômios, que garante que existem um quociente q(x) e um resto r(x) tais que
f(x)=d(x),q(x)+r(x),
com deg r. Também vamos usar que
f(x)d(x)=q(x)+r(x)d(x)

Passo 2

Para encontrar o primeiro termo do quociente, dividimos o termo de maior grau: x^4div x^2=x^2. Multiplicamos e subtraímos:
x^2cdot(x^2+2x-1)=x^4+2x^3- x^2,
(x^4-2x^3+3x^2) - (x^4+2x^3- x^2) = -4x^3+4x^2
A seguir, trazemos para baixo o termo -4x, obtendo o polinômio -4x^3+4x^2-4x.

Passo 3

Agora dividimos o novo termo de maior grau: -4x^3div x^2=-4x. Multiplicamos e subtraímos:
-4xcdot(x^2+2x-1)= -4x^3 -8x^2+4x,
(-4x^3+4x^2-4x) -(-4x^3-8x^2+4x)= 12x^2 -8x
Trazemos para baixo o +6, ficando 12x^2-8x+6.

Passo 4

Dividimos mais uma vez: 12x^2div x^2=12. Multiplicamos e subtraímos:
12cdot(x^2+2x-1)=12x^2+24x-12,
(12x^2-8x+6)-(12x^2+24x-12)= -32x+18
Como o grau de -32x+18 é menor que o de d(x), paramos. Encontramos
q(x)=x^2-4x+12,
r(x)=-32x+18

Passo 5

Como resultado final do algoritmo da divisão, temos
f(x)=d(x),q(x)+r(x)= (x^2+2x-1)(x^2-4x+12) +(-32x+18)
E a função quociente completa é
f(x)d(x)=q(x)+r(x)d(x)=x^2-4x+12+-32x+18x^2+2x-1

Resposta

f(x)= (x2+2x-1)(x2-4x+12) + (-32x+18) e f(x)/d(x)= x^2-4x+12 + \frac{-32x+18}{x^2+2x-1}

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