Encontre
e
. Para quais valores de
a curva é côncava para cima?
Passo 1
Temos a curva paramétrica dada por x = t²+1 e y = eᵗ–1. O conteúdo envolve derivadas de curvas paramétricas: para achar dy/dx usamos dy/dt e dx/dt, e para a segunda derivada usamos a regra d²y/dx²=(d/dt(dy/dx))/(dx/dt).
Passo 2
Calculemos as derivadas em relação a t: dx/dt=2t e dy/dt=eᵗ. Logo
dy/dx = =
.
dy/dx =
Passo 3
Agora vamos à segunda derivada. Primeiro derivamos
em relação a t usando a regra do quociente:
Passo 4
Em seguida dividimos pelo dx/dt=2t:
Passo 5
Para concavidade para cima queremos d²y/dx²>0. Como eᵗ>0, o sinal fica com
. Esse quociente é positivo quando t-1 e t³ têm o mesmo sinal, isto é, para t>1 (ambos positivos) ou t<0 (ambos negativos).