Encontre d yd x e d^2 yd x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
x=t^2+1, y=e^t-1

Passo 1

Temos a curva paramétrica dada por x = t²+1 e y = eᵗ–1. O conteúdo envolve derivadas de curvas paramétricas: para achar dy/dx usamos dy/dt e dx/dt, e para a segunda derivada usamos a regra d²y/dx²=(d/dt(dy/dx))/(dx/dt).

Passo 2

Calculemos as derivadas em relação a t: dx/dt=2t e dy/dt=eᵗ. Logo
dy/dx = dy/dtdx/dt = e^t2t.

Passo 3

Agora vamos à segunda derivada. Primeiro derivamos e^t2t em relação a t usando a regra do quociente:
ddtl(e^t2tr) = 2t,e^t - 2,e^t(2t)^2 = e^t(t-1)2t^2

Passo 4

Em seguida dividimos pelo dx/dt=2t:
d^2ydx^2 = e^t(t-1)2t^22t = e^t(t-1)4t^3

Passo 5

Para concavidade para cima queremos d²y/dx²>0. Como eᵗ>0, o sinal fica com (t-1)/(t^3). Esse quociente é positivo quando t-1 e t³ têm o mesmo sinal, isto é, para t>1 (ambos positivos) ou t<0 (ambos negativos).

Resposta

dydx=e^t2t, d^2ydx^2=e^t(t-1)4t^3 A curva é côncava para cima para t<0 ou t>1.

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