Divida o polinômio P(x)=4 x^3-x^2+2 por D(x)=x^2+1, diga qual é o quociente Q(x) e o resto R(X). Depois escreva o polinômio P(x), na forma P(x)=D(x) cdot Q(x)+R(x)

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
P(x)=4x^3 - x^2 + 2
pelo divisor
D(x)=x^2+1
O objetivo é encontrar o quociente Q(x) e o resto R(x) usando o método da divisão de polinômios, lembrando que o grau de R(x) deve ser menor que o grau de D(x).

Passo 2

Começamos dividindo o termo de maior grau de P(x) pelo de D(x):
4x^3x^2 = 4x
Esse é o primeiro termo de Q(x). Agora multiplicamos 4x pelo divisor e subtraímos de P(x):
(4x^3 - x^2 + 0x + 2);-;(4x^3 + 0x^2 + 4x + 0) ;=;-x^2 - 4x + 2

Passo 3

Agora dividimos o novo termo de maior grau pelo de D(x):
-x^2x^2 = -1
Esse é o segundo termo de Q(x). Multiplicamos -1 por x^2+1 e subtraímos do polinômio intermediário:
(-x^2 -4x +2);-;(-x^2 + 0x -1) ;=;-4x + 3
Como -4x+3 tem grau 1<2, esse será o resto da divisão.

Passo 4

Dessa forma identificamos:
Q(x) = 4x - 1, R(x) = -4x + 3

Passo 5

Por fim, escrevemos a relação de divisão:
P(x) = D(x),cdot Q(x) + R(x)
substituindo:
P(x) = (x^2+1),(4x-1) + (-4x+3)

Resposta

Q(x)=4x-1, R(x)=-4x+3
E
P(x) = (x^2+1)(4x-1) + (-4x+3)

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