1. Divida os polinômios abaixo utilizando Briot-Rufinni.
a) P(x)=4 x^{4}-4 x^{3}+x-1 e Q(x)=x+1

Passo 1

O enunciado pede para dividir os polinômios dados usando o método de Briot-Ruffini (divisão sintética).
Informações fornecidas:
  • Dividendo P(x)=4x^{4}-4x^{3}+x-1.
  • Divisor Q(x)=x+1.
O que devemos entregar: o quociente e o resto da divisão de P(x) por Q(x).

Passo 2

Explicação do método (Briot-Ruffini) de forma didática e simples.
  • A ideia: dividir um polinômio por um divisor da forma x-r é equivalente a usar o valor r (a raiz do divisor) em um procedimento em linha chamado divisão sintética.
  • No nosso caso o divisor é x+1. Podemos reescrever x+1 como x-(-1). Logo o valor que usamos na divisão sintética é r=-1.
  • O procedimento trabalha apenas com os coeficientes do polinômio dividendo. Se algum grau estiver ausente (coeficiente zero), devemos colocar esse zero explicitamente.
  • O resultado da divisão sintética dá os coeficientes do quociente (um grau menor que o dividendo) e o último valor obtido é o resto.
Observação: isso funciona porque a divisão polinomial por x-r obedece à identidade
P(x)=(x-r)\,Q(x)+R,
onde R=P(r). A divisão sintética entrega Q(x) e R diretamente.

Passo 3

Preparar os coeficientes do dividendo.
  • P(x)=4x^{4}-4x^{3}+0x^{2}+1x-1. Note que o termo x^{2} está ausente, então o coeficiente é 0.
  • Lista de coeficientes, em ordem decrescente de grau: 4,\; -4,\; 0,\; 1,\; -1.
  • Valor para a divisão sintética: r=-1 (porque divisor é x+1=x-(-1)).

Passo 4

Executar a divisão sintética passo a passo (faça igual na prova).
Montamos uma linha com r=-1 à esquerda e os coeficientes do dividendo:
Coeficientes iniciais:
\begin{array}{ccccc} 4 & -4 & 0 & 1 & -1 \end{array}
Procedimento:
  1. Desça o primeiro coeficiente para a linha do quociente: ele é 4. \text{quociente inicial: }4
  2. Multiplique esse número por r=-1: 4\cdot(-1)=-4. Some esse produto ao próximo coeficiente: -4 + (-4) = -8.Agora -8 é o próximo coeficiente do quociente.
  3. Multiplique -8 por r=-1: -8\cdot(-1)=8. Some ao próximo coeficiente: 0 + 8 = 8.Agora 8 é o próximo coeficiente do quociente.
  4. Multiplique 8 por r=-1: 8\cdot(-1)=-8. Some ao próximo coeficiente: 1 + (-8) = -7.Agora -7 é o próximo coeficiente do quociente.
  5. Multiplique -7 por r=-1: -7\cdot(-1)=7. Some ao último coeficiente: -1 + 7 = 6.Esse último valor 6 é o resto da divisão.
Organizando os resultados: os coeficientes obtidos para o quociente (em ordem) são
4,\; -8,\; 8,\; -7,
e o resto é 6.

Passo 5

Interpretar os coeficientes do quociente como polinômio.
Como o dividendo tinha grau 4, o quociente terá grau 3. Os coeficientes 4,-8,8,-7 correspondem ao polinômio
4x^{3}-8x^{2}+8x-7.
A identidade da divisão fica:
P(x)=(x+1)\bigl(4x^{3}-8x^{2}+8x-7\bigr)+6.

Passo 6

Verificação rápida do resto (cheque prático para prova).
O resto ao dividir por x+1 deve ser P(-1). Calcule P(-1):
P(-1)=4(-1)^{4}-4(-1)^{3}+(-1)-1=4\cdot1-4\cdot(-1)-1-1=4+4-1-1=6.
Confere com o resto 6 obtido. Boa! Está correto.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (amigável e prática)
  • Sempre escreva coeficiente zero quando faltar um termo (como fizemos para x^{2}). Isso evita erros bobos.
  • Trabalhe com calma nas multiplicações por r e nas somas; faça as contas mentalmente ou rabiscando — são operações simples.
  • Para checar, calcule P(r) e compare com o resto: é um atestado rápido de que não errou.

Resposta

Quociente: 4x^{3}-8x^{2}+8x-7
Resto: 6

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