Divida os polinómios utilizando os diferentes métodos
P(x)=3 x^{3}+5 x^{2}+x-5
por D(x)=3 x-1

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinómio
P(x)=3x^{3}+5x^{2}+x-5
pelo divisor
D(x)=3x-1
O assunto aqui é divisão de polinómios, e vamos aplicar dois métodos: a divisão longa clássica e a divisão sintética (Ruffini), que exige primeiro tornar o divisor monico.

Passo 2

Divisão longa
  1. Escrevemos P(x) “de baixo para cima” e começamos dividindo o termo de maior grau:
3x^{3}\div(3x)=x^{2}.
  1. Multiplicamos x^{2} por 3x-1 e subtraímos de P(x):
x^{2}\cdot(3x-1)=3x^{3}-x^{2},\quad (3x^{3}+5x^{2})-(3x^{3}-x^{2})=6x^{2}.
A seguir “baixamos” os termos seguintes, ficando com 6x^{2}+x.
3. Agora 6x^{2}\div(3x)=2x. Multiplicamos e subtraímos:
2x\cdot(3x-1)=6x^{2}-2x,\quad (6x^{2}+x)-(6x^{2}-2x)=3x.
Baixamos o -5, dando 3x-5.
4. Finalmente 3x\div(3x)=1.
1\cdot(3x-1)=3x-1,\quad (3x-5)-(3x-1)=-4.
Portanto a divisão longa produz
P(x) = (3x-1)\,(x^{2}+2x+1)\;-\;4.

Passo 3

Divisão sintética (Ruffini) adaptada
Como D(x)=3x-1=3\bigl(x-\tfrac13\bigr), escrevemos primeiro
\widetilde P(x)=\frac{1}{3}P(x)=x^{3}+\frac{5}{3}x^{2}+\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}
e dividimos \widetilde P(x) por x-\tfrac13 usando o esquema de Ruffini com c=\tfrac13:
Coeficientes de \widetilde P: \;1,\;\tfrac{5}{3},\;\tfrac13,\;-\tfrac{5}{3}
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“Baixa” 1
\;1\mid
multiplica por c=\tfrac13: 1\cdot\tfrac13=\tfrac13
soma com \tfrac{5}{3}: \tfrac{5}{3}+\tfrac13=2
multiplica por \tfrac13: 2\cdot\tfrac13=\tfrac23
soma com \tfrac13: \tfrac13+\tfrac23=1
multiplica por \tfrac13: 1\cdot\tfrac13=\tfrac13
soma com -\tfrac{5}{3}: -\tfrac{5}{3}+\tfrac13=-\tfrac{4}{3}
Os coeficientes do quociente de \widetilde P são 1,2,1, e o resto é -\tfrac{4}{3}.
Como \widetilde P=P/3, voltamos ao divisor original 3x-1:
  • o quociente é o mesmo x^{2}+2x+1,
  • o resto escala de -\tfrac{4}{3} para -4.

Resposta

O quociente da divisão de P(x) por 3x-1 é
Q(x)=x^{2}+2x+1
e o resto é
R=-4,
ou seja
\frac{P(x)}{3x-1}=x^{2}+2x+1-\frac{4}{3x-1}.

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