Divida os polinómios utilizando os diferentes métodos
P(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+5
por
D(x)=3 x^{2}-2 x+1

Passo 1

O problema pede para dividir o polinómio
P(x)=2x^{4}-3x^{2}+5
pelo polinómio
D(x)=3x^{2}-2x+1,
usando métodos distintos. O conteúdo é divisão de polinómios, e vamos apresentar dois caminhos: divisão longa e coeficientes indeterminados.

Passo 2

Divisão longa
  1. Dividimos o termo de maior grau de P(x), que é 2x^4, pelo termo de maior grau de D(x), que é 3x^2.
    O quociente parcial é
\frac{2x^4}{3x^2}=\frac{2}{3}x^2.
  1. Multiplicamos D(x) por \tfrac{2}{3}x^2 e subtraímos de P(x):
(2x^4-3x^2+5)\;-\;\Bigl(\tfrac{2}{3}x^2\cdot(3x^2-2x+1)\Bigr) =4/3\,x^3-11/3\,x^2+5.
  1. Agora dividimos 4/3\,x^3 por 3x^2, obtendo \tfrac{4}{9}x. Repetimos o processo de multiplicar e subtrair, o que dá
-\frac{25}{9}x^2 \;-\;\frac{4}{9}x+5.
  1. Finalmente dividimos -\tfrac{25}{9}x^2 por 3x^2, obtendo -\tfrac{25}{27}. Após multiplicar e subtrair, sobra o resto
-\frac{62}{27}x+\frac{160}{27}.
Assim o quociente é
Q(x)=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{9}x-\frac{25}{27},
e o resto é
R(x)=-\frac{62}{27}x+\frac{160}{27}.

Passo 3

Coeficientes indeterminados
Assumimos
Q(x)=ax^2+bx+c, \qquad R(x)=dx+e,
e impomos
P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x).
Calculamos
(3x^2-2x+1)(ax^2+bx+c) =3a\,x^4+(3b-2a)\,x^3+(3c-2b+a)\,x^2+(-2c+b)\,x+c,
e somamos dx+e. Comparando com
2x^4+0x^3-3x^2+0x+5
obtemos o sistema
\begin{cases} 3a=2,\\\\ 3b-2a=0,\\\\ 3c-2b+a=-3,\\\\ -2c+b+d=0,\\\ c+e=5. \end{cases}
Resolvendo, chega-se a
a=\tfrac{2}{3},\quad b=\tfrac{4}{9},\quad c=-\tfrac{25}{27},\quad d=-\tfrac{62}{27},\quad e=\tfrac{160}{27},
confirmando
Q(x)=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{9}x-\frac{25}{27}, \quad R(x)=-\frac{62}{27}x+\frac{160}{27}.

Resposta

O quociente e o resto da divisão são
Q(x)=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{9}x-\frac{25}{27}, \qquad R(x)=-\frac{62}{27}x+\frac{160}{27}.

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