Calcule o valor presente e o valor futuro do seguinte fluxo de caixa: 4 prestações mensais e sucessivas crescentes em progressão aritmética com razão de \mathrm{R} \ 2.000,00 sendo o valor inicial de\mathrm{R} $10.00000 e taxa efetiva de1,5 %$ ao mês.

Passo 1

O enunciado dá um fluxo de quatro prestações mensais, sucessivas e crescentes em progressão aritmética. As informações relevantes são:
P_1=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00
G=\mathrm{R}\$\,2.000{,}00
n=4
i=1{,}5\% \text{ ao mês} = 0{,}015ê
As prestações (assumindo pagamentos ao fim de cada mês, em meses 1,2,3,4) são:
P_1=10.000,\; P_2=12.000,\; P_3=14.000,\; P_4=16.000.
O problema pede: o valor presente dessas quatro prestações (no instante 0) e o valor futuro acumulado no instante 4 (logo após a 4ª prestação). Na resolução usaremos fórmulas de valor presente e de acumulação de séries aritméticas.

Passo 2

Vamos decompor cada pagamento como soma de uma série constante mais um gradiente aritmético:
P_k = P_1 + (k-1)G,\qquad k=1,\dots,n.
O valor presente (no tempo 0) será
PV=\sum_{k=1}^{n}\frac{P_k}{(1+i)^k}=P_1\sum_{k=1}^n v^k+G\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{(1+i)^k},
onde definimos v=\dfrac{1}{1+i}. Explico as fórmulas usadas:
  • A anuidade imediata (soma dos descontos) é
a_{\overline{n}|i}=\sum_{k=1}^n v^k=\frac{1-v^n}{i},
onde v=\dfrac{1}{1+i}, n é o número de parcelas e i a taxa por período.
  • Para a soma com coeficiente k existe a fórmula
\sum_{k=1}^n k v^k=\frac{v\bigl(1-(n+1)v^n+nv^{n+1}\bigr)}{(1-v)^2}.
Dessa forma
\sum_{k=1}^n (k-1)v^k=\sum_{k=1}^n k v^k-\sum_{k=1}^n v^k.
Vou aplicar essas fórmulas ao caso n=4, i=0{,}015, P_1=10.000, G=2.000.

Passo 3

Calculemos v e as potências necessárias de modo exato em frações (isso facilita a aritmética):
1+i=1{,}015=\frac{203}{200}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{1+i}=\frac{200}{203}.
As potências:
v^2=\left(\frac{200}{203}\right)^2=\frac{40.000}{41.209},
v^3=\left(\frac{200}{203}\right)^3=\frac{8.000.000}{8.365.427},
v^4=\left(\frac{200}{203}\right)^4=\frac{1.600.000.000}{1.698.181.681}.
Agora calcule a anuidade a_{\overline{4}|i}:
a_{\overline{4}|i}=\frac{1-v^4}{i} =\frac{1-\dfrac{1.600.000.000}{1.698.181.681}}{0{,}015} =\frac{\dfrac{98.181.681}{1.698.181.681}}{0{,}015}.
Como \dfrac{1}{0{,}015}=\dfrac{200}{3}, temos
a_{\overline{4}|i}=\frac{98.181.681}{1.698.181.681}\cdot\frac{200}{3} =\frac{19.636.336.200}{5.094.545.043}\approx 3{,}85438461.

Passo 4

Agora precisamos de \sum_{k=1}^4 (k-1)v^k. Primeiro calculamos \sum_{k=1}^4 k v^k usando a fórmula:
\sum_{k=1}^4 k v^k=\frac{v\bigl(1-5v^4+4v^5\bigr)}{(1-v)^2}.
Calculemos cada peça em frações:
v^4=\frac{1.600.000.000}{1.698.181.681},\qquad v^5=v^4\cdot v=\frac{320.000.000.000}{344.730.881.243}.
O denominador comum conveniente é 344.730.881.243. Escrevendo o termo entre parênteses com esse denominador:
1-5v^4+4v^5=\frac{344.730.881.243-1.624.000.000.000+1.280.000.000.000}{344.730.881.243} =\frac{730.881.243}{344.730.881.243}.
Além disso
1-v=\frac{3}{203}\quad\Rightarrow\quad(1-v)^2=\frac{9}{41.209}.
E
\frac{v}{(1-v)^2}=\frac{\dfrac{200}{203}}{\dfrac{9}{41.209}}=\frac{200\cdot 41.209}{203\cdot 9}=\frac{8.241.800}{1.827}=4511{,}\overline{1}.
Portanto
\sum_{k=1}^4 k v^k =4511{,}\overline{1}\cdot\frac{730.881.243}{344.730.881.243} =\frac{3.297.086.496.200}{344.730.881.243}\approx 9{,}564235.
Agora
\sum_{k=1}^4 (k-1)v^k=\sum_{k=1}^4 k v^k - \sum_{k=1}^4 v^k =9{,}564235 - 3{,}85438461 \approx 5{,}70985039.

Passo 5

Calcule o valor presente combinando as parcelas constantes e o gradiente:
PV=P_1\cdot a_{\overline{4}|i}+G\cdot\sum_{k=1}^4 (k-1)v^k.
Substituindo os valores numéricos:
PV=10.000\cdot 3{,}85438461 + 2.000\cdot 5{,}70985039.
Calcule:
10.000\cdot 3{,}85438461=38.543{,}8461,
2.000\cdot 5{,}70985039=11.419{,}70078.
Somando:
PV\approx 38.543{,}8461+11.419{,}70078=49.963{,}54688.
Arredondando para centavos:
PV\approx \mathrm{R}\$\,49.963{,}55.

Passo 6

Agora o valor futuro no instante 4 (após a 4ª prestação). Podemos acumular cada pagamento até t=4:
FV=\sum_{k=1}^4 P_k(1+i)^{4-k}.
Com os pagamentos numéricos:
FV=10.000(1+i)^3+12.000(1+i)^2+14.000(1+i)^1+16.000.
Usando 1+i=1{,}015 e potências calculadas:
(1{,}015)^1=1{,}015,\quad (1{,}015)^2=1{,}030225,\quad (1{,}015)^3=1{,}045678375.
Então:
FV=10.000\cdot1{,}045678375+12.000\cdot1{,}030225+14.000\cdot1{,}015+16.000.
Calcule cada termo:
10.000\cdot1{,}045678375=10.456{,}78375,
12.000\cdot1{,}030225=12.362{,}700,
14.000\cdot1{,}015=14.210{,}000,
16.000=16.000{,}000.
Somando:
FV\approx 10.456{,}78375+12.362{,}700+14.210{,}000+16.000{,}000=53.029{,}48375.
Arredondando para centavos:
FV\approx \mathrm{R}\$\,53.029{,}48.

Passo 7

Verificação rápida (consistência): acumulando o PV ao tempo 4 deve dar o mesmo FV:
PV\cdot(1+i)^4\approx 49.963{,}54688\cdot1{,}061363550625\approx 53.029{,}48375,
confirmando que os cálculos estão coerentes.

Resposta

\mathrm{PV}\approx \mathrm{R}\$\,49.963{,}55
\mathrm{FV}\approx \mathrm{R}\$\,53.029{,}48

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