Divida x^6-x^4+x^2-1 por x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio x^6 - x^4 + x^2 - 1 pelo polinômio x^2 - 1. O conteúdo principal aqui é divisão de polinômios, e vamos usar uma técnica que facilita quando o divisor é também um polinômio em x^2.

Passo 2

Para simplificar a divisão, vamos usar a substituição y = x^2. Assim, reduzimos o grau dos polinômios e transformamos o problema em dividir um polinômio em y por um polinômio de grau 1.
Com y = x^2, temos:
x^6 - x^4 + x^2 - 1 = y^3 - y^2 + y - 1
$$
x^2 - 1 = y - 1. $$
Agora precisamos dividir x^2 - 1 = y - 1 por y^3 - y^2 + y - 1.

Passo 3

Para dividir y^3 - y^2 + y - 1 por y - 1, podemos usar a regra de Briot-Ruffini (ou divisão sintética) com raiz y = 1:
Coeficientes de y^3 - y^2 + y - 1: 1, -1, 1, -1.
Aplicando a divisão sintética com 1:
  • Desço o 1.
  • Multiplico por 1, somo e assim por diante.
    O resultado é quociente com coeficientes 1, 0, 1 e resto 0.
    Ou seja, o quociente em y é y^2 + 1 e o resto é zero.

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos y = x^2 no quociente obtido:
y^2 + 1 = (x^2)^2 + 1 = x^4 + 1
Portanto, a divisão de x^6 - x^4 + x^2 - 1 por x^2 - 1 dá quociente x^4 + 1 e resto zero.

Resposta

x^4 + 1

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