Divida 5 x^5+3 x^4-x^3+6 por x^2+3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio 5x^5 + 3x^4 - x^3 + 6 pelo polinômio x^2 + 3x + 2. O conteúdo é divisão de polinômios e vamos usar o algoritmo da divisão polinomial, que diz que para polinômios P(x) e D(x) existe um quociente Q(x) e um resto R(x) tais que P(x)=D(x),Q(x)+R(x) com deg(R).

Passo 2

Primeiro, completamos o polinômio dividendo com os termos faltantes de grau 2 e 1:
5x^5 + 3x^4 - x^3 + 0x^2 + 0x + 6

Passo 3

Agora dividimos o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau do divisor para obter o primeiro termo do quociente:
5x^5x^2=5x^3
Multiplicamos o divisor por 5x^3 e subtraímos:
5x^3(x^2+3x+2)=5x^5+15x^4+10x^3
Subtraindo em coluna:
(5x^5+3x^4- x^3)-(5x^5+15x^4+10x^3)=-12x^4-11x^3
Tragamos os termos seguintes para baixo obtendo o novo resto:
-12x^4-11x^3+0x^2

Passo 4

Repetimos o processo para o próximo termo:
-12x^4x^2=-12x^2
Multiplicamos o divisor por -12x^2 e subtraímos:
-12x^2(x^2+3x+2)=-12x^4-36x^3-24x^2
Subtraindo:
(-12x^4-11x^3+0x^2)-(-12x^4-36x^3-24x^2)=25x^3+24x^2
Tragamos o termo 0x para baixo e continuamos.

Passo 5

Dividimos o próximo termo:
25x^3x^2=25x
Multiplicamos e subtraímos:
25x(x^2+3x+2)=25x^3+75x^2+50x
Subtraindo:
(25x^3+24x^2+0x)-(25x^3+75x^2+50x)=-51x^2-50x
Trazemos o +6 para baixo.

Passo 6

Por fim, dividimos:
-51x^2x^2=-51
Multiplicamos e subtraímos para achar o resto final:
-51(x^2+3x+2)=-51x^2-153x-102
(-51x^2-50x+6)-(-51x^2-153x-102)=103x+108
Agora temos o quociente e o resto com grau menor que 2.

Resposta

Quociente: 5x^3 -12x^2+25x-51; resto: 103x+108. Portanto,
5x^5+3x^4-x^3+6x^2+3x+2=5x^3-12x^2+25x-51+103x+108x^2+3x+2

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