Determine o real
para que o número
seja imaginário
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor real de $ x $ que faz com que o número $ z = 2 + (x - 4i) \cdot (2 + xi) $ seja um número imaginário. Aqui, estamos lidando com números complexos, que são parte da álgebra. Para resolver isso, vamos precisar manipular e simplificar expressões com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o produto $ (x - 4i) \cdot (2 + xi) $. Para multiplicar dois números complexos, usamos a distributiva, multiplicando cada parte de um pelo de outro:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo:
Lembrando que $ i^2 = -1 $, então $ -4x i^2 = -4x (-1) = 4x $.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, voltamos à expressão de $ z $:
Isso pode ser escrito como:
Passo 6
Queremos que $ z $ seja um número imaginário puro, ou seja, a parte real deve ser zero. Então, igualamos a parte real a zero:
Passo 7
Resolvendo para $ x $:
Resposta
O valor real de $ x $ que faz com que $ z $ seja imaginário é $ x = -\frac{1}{3} $.