Determine o real x para que o número z=2+(x-4 i) cdot(2+x i) seja imaginário

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor real de $ x $ que faz com que o número $ z = 2 + (x - 4i) \cdot (2 + xi) $ seja um número imaginário. Aqui, estamos lidando com números complexos, que são parte da álgebra. Para resolver isso, vamos precisar manipular e simplificar expressões com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto $ (x - 4i) \cdot (2 + xi) $. Para multiplicar dois números complexos, usamos a distributiva, multiplicando cada parte de um pelo de outro:
(x - 4i) cdot (2 + xi)

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
x cdot 2 = 2x
x cdot xi = x^2 i
-4i cdot 2 = -8i
-4i cdot xi = -4x i^2
Lembrando que $ i^2 = -1 $, então $ -4x i^2 = -4x (-1) = 4x $.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
(x - 4i) cdot (2 + xi) = 2x + x^2 i - 8i + 4x
Juntando os termos semelhantes:
2x + 4x + (x^2 i - 8i) = 6x + (x^2 - 8)i

Passo 5

Agora, voltamos à expressão de $ z $:
z
Isso pode ser escrito como:
z = 2 + (x - 4i) cdot (2 + xi) = 2 + 6x + (x^2 - 8)i

Passo 6

Queremos que $ z $ seja um número imaginário puro, ou seja, a parte real deve ser zero. Então, igualamos a parte real a zero:
z

Passo 7

Resolvendo para $ x $:
x
6x = -2

Resposta

O valor real de $ x $ que faz com que $ z $ seja imaginário é $ x = -\frac{1}{3} $.

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