Dividindo-se um polinômio p(x) por x^2-2 x-3, obtém-se como resto o polinômio -14 x+234. Qual é o resto da divisão de p(x) por x+1 ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de divisão de polinômios. O enunciado nos diz que, ao dividir o polinômio $ p(x) $ por $ x^{2} - 2x - 3 $, o resto da divisão é $ -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4} $. Nosso objetivo é encontrar o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $. Para isso, vamos precisar entender a Teoria do Resto e como aplicar a divisão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, lembramos que quando dividimos um polinômio $ p(x) $ por outro polinômio $ d(x) $, podemos expressar $ p(x) $ da seguinte forma:
p(x)
Onde:
  • $ Q(x) $ é o quociente da divisão.
  • $ R(x) $ é o resto da divisão, com grau menor que o de $ d(x) $.
No nosso caso, $ d(x) = x^{2} - 2x - 3 $ e o resto $ R(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4} $.

Passo 3

Observamos que o divisor $ x^{2} - 2x - 3 $ pode ser fatorado:
x^2 - 2x - 3
Isso nos mostra que $ x + 1 $ é um dos fatores do divisor inicial.

Passo 4

Queremos encontrar o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $. De acordo com o Teorema do Resto, se dividirmos $ p(x) $ por $ x - a $, o resto da divisão é $ p(a) $.
No nosso caso, $ x + 1 = x - (-1) $, então $ a = -1 $. Portanto, o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $ será $ p(-1) $.

Passo 5

Sabemos que:
p(x) = (x^2 - 2x - 3) cdot Q(x) + ( -14x + 234 )
Para encontrar $ p(-1) $, substituímos $ x $ por $ -1 $ na expressão acima:
p(-1)
Calculando o primeiro termo:
x
Então:
-1

Resposta

O resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $ é 6.

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