Dividindo-se um polinômio
por
, obtém-se como resto o polinômio
. Qual é o resto da divisão de
por
?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de divisão de polinômios. O enunciado nos diz que, ao dividir o polinômio $ p(x) $ por $ x^{2} - 2x - 3 $, o resto da divisão é $ -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4} $. Nosso objetivo é encontrar o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $. Para isso, vamos precisar entender a Teoria do Resto e como aplicar a divisão de polinômios.
Passo 2
Primeiro, lembramos que quando dividimos um polinômio $ p(x) $ por outro polinômio $ d(x) $, podemos expressar $ p(x) $ da seguinte forma:
Onde:
- $ Q(x) $ é o quociente da divisão.
- $ R(x) $ é o resto da divisão, com grau menor que o de $ d(x) $.
No nosso caso, $ d(x) = x^{2} - 2x - 3 $ e o resto $ R(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4} $.
Passo 3
Observamos que o divisor $ x^{2} - 2x - 3 $ pode ser fatorado:
Isso nos mostra que $ x + 1 $ é um dos fatores do divisor inicial.
Passo 4
Queremos encontrar o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $. De acordo com o Teorema do Resto, se dividirmos $ p(x) $ por $ x - a $, o resto da divisão é $ p(a) $.
No nosso caso, $ x + 1 = x - (-1) $, então $ a = -1 $. Portanto, o resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $ será $ p(-1) $.
Passo 5
Sabemos que:
Para encontrar $ p(-1) $, substituímos $ x $ por $ -1 $ na expressão acima:
Calculando o primeiro termo:
Então:
Resposta
O resto da divisão de $ p(x) $ por $ x + 1 $ é 6.