Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
(e)
é limitado pelas curvas
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região
usando integral dupla. As curvas que delimitam
são
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram e como elas se comportam no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Isso acontece quando
e
ao mesmo tempo. Vamos substituir
da primeira equação na segunda:
Expandindo e resolvendo essa equação, encontramos os valores de
onde as curvas se encontram.
Passo 3
Após resolver a equação acima, descobrimos que os pontos de interseção são
e
. Isso significa que a região
está limitada entre
e
.
Passo 4
Agora, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo
. Para isso, escolhemos um valor de
dentro do intervalo, por exemplo,
:
Vemos que
está abaixo de
no intervalo considerado.
Passo 5
Com isso, podemos configurar a integral dupla para calcular a área
:
Aqui,
é a curva
e
é a curva obtida ao resolver
para
.
Passo 6
Resolvendo
para
, temos:
Pegamos a solução que está acima na região de interesse, ou seja:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Agora, avaliamos a integral de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região
é aproximadamente
unidades quadradas.