Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto R dado.
(e) R é limitado pelas curvas y=x^2-x e x=y^2-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região usando integral dupla. As curvas que delimitam são e . Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram e como elas se comportam no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Isso acontece quando x = (x^2 - x)^2 - (x^2 - x) e ao mesmo tempo. Vamos substituir da primeira equação na segunda:
Expandindo e resolvendo essa equação, encontramos os valores de onde as curvas se encontram.

Passo 3

Após resolver a equação acima, descobrimos que os pontos de interseção são e . Isso significa que a região está limitada entre e .

Passo 4

Agora, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo y = x^2 - x = (0.5)^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25 . Para isso, escolhemos um valor de x = y^2 - y implies 0.5 = (-0.25)^2 - (-0.25) = 0.0625 + 0.25 = 0.3125 dentro do intervalo, por exemplo, :
Vemos que está abaixo de no intervalo considerado.

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral dupla para calcular a área A = integral0^1 integralyinferior^ysuperior dy , dx :
Aqui, é a curva e é a curva obtida ao resolver para .

Passo 6

Resolvendo y^2 - y - x = 0 para y = 1 pm raiz1 + 4x2 , temos:
ysuperior = 1 + raiz1 + 4x2
Pegamos a solução que está acima na região de interesse, ou seja:

Passo 7

Agora, a integral fica:
A = integral0^1 ( 1 + raiz1 + 4x2 - (x^2 - x) ) dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
A = integral0^1 ( 12 + raiz1 + 4x2 - x^2 + x ) dx

Passo 8

Integrando termo a termo:
A = [ x2 + 12 cdot 25 (1 + 4x)^5/2 cdot 14 - x^33 + x^22 ]0^1
Simplificando os coeficientes:
A = [ x2 + 110 (1 + 4x)^5/2 - x^33 + x^22 ]0^1

Passo 9

Agora, avaliamos a integral de 0 a 1:
Para 12 + 110 (5)^5/2 - 13 + 12 = 12 + 110 cdot 55.9017 - 13 + 12 :
= 1 + 5.59017 - 0.3333 approx 6.2569
0 + 110 (1)^5/2 - 0 + 0 = 110 = 0.1
Para A approx 6.2569 - 0.1 = 6.1569 :
Subtraindo:

Resposta

A área da região é aproximadamente unidades quadradas.

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