Dois polinômios f e g são tais que:
  • f(x)+g(x) é um polinômio de grau 6.
  • f(x)-g(x) é um polinômio de grau 4.
    Qual é o grau do polinômio f(x) cdot g(x) ?

Passo 1

A questão dá que os polinômios f+g e f-g têm, respectivamente, grau 6 e grau 4. O conteúdo aqui é grau de soma/diferença de polinômios e grau de produto de polinômios.

Passo 2

Suponha que deg f = m e deg g = n. Se mneq n, então tanto deg(f+g) quanto deg(f-g) valeriam max(m,n), logo não poderiam ser 6 e 4 simultaneamente. Concluímos que m=n.

Passo 3

Chamando esse grau comum de k, escrevemos os termos principais: f(x)=a x^k+cdots e g(x)=b x^k+cdots. Então deg(f+g)=k se a+bneq0 e deg(f-g)=k se a-bneq0. Nós temos deg(f+g)=6, logo k=6 e a+bneq0. Além disso, deg(f-g)=4<6 só ocorre se os termos de grau 6 se cancelarem, ou seja, a-b=0.

Passo 4

Logo deg f=deg g=6. Para o produto vale deg(fcdot g)=deg f+deg g=6+6=12.

Resposta

12

Exercícios relacionados