b) Mostre que p(x)=x^7-11 x^6+25 x^5-7 x^4-8 x^3+ +4 x^2-32 x é divisível, separadamente, por x, por x+1 e por x-8.
c) p(x) é divisível por x^3-7 x^2-8 x ?

Passo 1

Temos o polinômio p(x)=x^7-11x^6+25x^5-7x^4-8x^3+4x^2-32x. Precisamos mostrar que x, x+1 e x-8 dividem p(x) (parte b) e, em seguida, decidir se x^3-7x^2-8x o divide (parte c). Vamos usar o Teorema do Resto ( p(a)=0 sse x-a divide p(x)) e o Teorema de Divisibilidade para fatores coprimos.

Passo 2

Calculamos p(0): substituindo x=0 em p(x) temos p(0)=0. Pelo Teorema do Resto, isso mostra que x divide p(x).

Passo 3

Calculamos p(-1): substituindo x=-1 em p(x),
p(-1)=(-1)^7-11(-1)^6+25(-1)^5-7(-1)^4-8(-1)^3+4(-1)^2-32(-1)=-1-11-25-7+8+4+32=0 Como p(-1)=0, concluímos que x+1 divide p(x).

Passo 4

Para x=8, escrevemos
p(8)=8l(8^6-11cdot8^5+25cdot8^4-7cdot8^3-8cdot8^2+4cdot8-32r) Agora, calculamos cada termo dentro dos parênteses passo a passo:
8^6=262144,11cdot8^5=360448,25cdot8^4=102400,7cdot8^3=3584,8cdot8^2=512 Fazendo as operações em sequência:
262144-360448=-98304,-98304+102400=4096, 4096-3584=512,512-512=0,0+32-32=0 Logo p(8)=8cdot0=0, o que mostra que x-8 divide p(x).

Passo 5

Como x, x+1 e x-8 são polinômios lineares dois a dois coprimos, o Teorema de Divisibilidade garante que o produto
(x(x+1)(x-8)=x3-7x2-8x\ também divide p(x).

Resposta

b) Como p(0)=p(-1)=p(8)=0, os polinômios x, x+1 e x-8 dividem p(x). c) Sim, pois x^3-7x^2-8x=x(x+1)(x-8) e cada um desses fatores divide p(x).

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