A divisão de P(x) por g(x)=x^4+1 tem quociente q(x)=x+2 e resto r(x)=1. Encontre o polinômio P(x).

Passo 1

O enunciado diz que ao dividir o polinômio P(x) por g(x)=x⁴+1 obtemos quociente q(x)=x+2 e resto r(x)=1; o conteúdo é o Teorema da Divisão de Polinômios, que afirma que P(x)=g(x)·q(x)+r(x) com deg r<deg g.

Passo 2

Aplicando o Teorema da Divisão, escrevemos
P(x)=g(x),q(x)+r(x)
ou seja
P(x)=(x^4+1)(x+2)+1 .

Passo 3

Agora expandimos o produto:
(x^4+1)(x+2)=x^5+2x^4+x+2 .

Passo 4

Finalmente adicionamos o resto 1 ao produto obtido, resultando em
P(x)=x^5+2x^4+x+2+1=x^5+2x^4+x+3 .

Resposta

P(x)=x5+2x4+x+3

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