Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
. Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é um conteúdo de cálculo integral nas disciplinas de Cálculo II ou similares. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e a função que está sendo integrada, além de saber como representar isso graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para
e
. A integral externa é de
até
, e para cada
,
varia de
até
. Isso define a região no plano
sobre a qual vamos calcular o volume. Vamos desenhar esse domínio primeiro.
Passo 3
Para desenhar a região de integração, vamos plotar as curvas que definem os limites de
:
-
é uma linha horizontal. -
é uma parábola invertida que abre para baixo, com vértice em .
Vamos traçar essas duas curvas e identificar a área onde
está entre
e
, e
está entre
e
.
Passo 4
Agora que temos a região de integração, vamos pensar no sólido. A função que está sendo integrada é
. Isso significa que, para cada ponto
dentro da região que desenhamos, a altura do sólido será
. Vamos entender como essa função se comporta:
-
é uma função exponencial decrescente em . Quanto maior , menor será . - Para
, . - Para
, .
Passo 5
Com essas informações, vamos esboçar o sólido:
- Base: A região no plano
definida por e . - Topo: A superfície
sobre essa região. - Altura: A altura varia conforme
, decrescendo exponencialmente à medida que aumenta.
Para visualizar, imagine a região base sendo “levantada” pela função
, formando um sólido que se afasta mais para baixo conforme
aumenta.
Resposta
O sólido é a região tridimensional formada pela área no plano
com
e
, elevada pela função
. Esse sólido tem a forma de uma superfície exponencial sobre a região delimitada pelas curvas
e
, com
variando de
a
.