Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada integral-2^2 integral-1^3-x^2 e^-y d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral iterada integral-2^2 integral-1^3-x^2 e^-y , dy , dx. Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é um conteúdo de cálculo integral nas disciplinas de Cálculo II ou similares. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e a função que está sendo integrada, além de saber como representar isso graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para x e y. A integral externa é de x = -2 até x = 2, e para cada x, y varia de -1 até 3 - x^2. Isso define a região no plano xy sobre a qual vamos calcular o volume. Vamos desenhar esse domínio primeiro.

Passo 3

Para desenhar a região de integração, vamos plotar as curvas que definem os limites de y:
  1. y = -1 é uma linha horizontal.
  2. y = 3 - x^2 é uma parábola invertida que abre para baixo, com vértice em (0, 3).
Vamos traçar essas duas curvas e identificar a área onde y está entre -1 e 3 - x^2, e x está entre -2 e 2.

Passo 4

Agora que temos a região de integração, vamos pensar no sólido. A função que está sendo integrada é e^-y. Isso significa que, para cada ponto (x, y) dentro da região que desenhamos, a altura do sólido será z = e^-y. Vamos entender como essa função se comporta:
  • e^-y é uma função exponencial decrescente em y. Quanto maior y, menor será z.
  • Para y = -1, z = e^1 approx 2.718.
  • Para y = 3 - x^2, z = e^-(3 - x^2) = e^x^2 - 3.

Passo 5

Com essas informações, vamos esboçar o sólido:
  1. Base: A região no plano xy definida por -2 <= x <= 2 e -1 <= y <= 3 - x^2.
  2. Topo: A superfície z = e^-y sobre essa região.
  3. Altura: A altura varia conforme y, decrescendo exponencialmente à medida que y aumenta.
Para visualizar, imagine a região base sendo “levantada” pela função e^-y, formando um sólido que se afasta mais para baixo conforme y aumenta.

Resposta

O sólido é a região tridimensional formada pela área no plano xy com -2 <= x <= 2 e -1 <= y <= 3 - x^2, elevada pela função z = e^-y. Esse sólido tem a forma de uma superfície exponencial sobre a região delimitada pelas curvas y = -1 e y = 3 - x^2, com x variando de -2 a 2.

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