O vetor posição de uma partícula em movimento é sigma(t)=(1-t^21+t^2, 2 t1+t^2).
Mostre que a partícula se move sobre uma circunferência de centro na origem.

Passo 1

O enunciado dá a posição paramétrica de uma partícula em função do tempo:
sigma(t)=l(x(t),y(t)r) = l(tfrac1-t^21+t^2,tfrac2t1+t^2r). O conteúdo aqui é geometria analítica — queremos achar a equação implícita da curva traçada por sigma(t).

Passo 2

Definimos as componentes do vetor posição como
x = 1-t^21+t^2 e y = 2t1+t^2. Vamos usar essas expressões para obter uma relação entre x e y que seja independente de t.

Passo 3

Calculamos a soma dos quadrados:
x^2 + y^2 = l(1-t^21+t^2r)^2 + l(2t1+t^2r)^2 = (1-t^2)^2 + (2t)^2(1+t^2)^2
Agora expandimos o numerador:
$$(1-t{2}){2} + 4t^{2} = 1 -2t^{2} + t^{4} + 4t^{2} = 1 + 2t^{2} + t^{4} = (1+t{2}){2}.
(1-t^2)^2 + 4t^2 = 1 -2t^2 + t^4 + 4t^2 = 1 + 2t^2 + t^4 = (1+t^2)^2 x^{2} + y^{2} = \frac{(1+t{2}){2}}{(1+t{2}){2}} = 1.$$

Passo 4

Essa igualdade mostra que todos os pontos (x,y) da trajetória satisfazem x^2 + y^2 = 1. Portanto, a partícula se move sobre a circunferência de centro na origem e raio 1.

Resposta

A trajetória satisfaz x^2+y^2=1, caracterizando uma circunferência de centro na origem e raio 1.

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