O vetor posição de uma partícula em movimento é
.
Mostre que a partícula se move sobre uma circunferência de centro na origem.
Mostre que a partícula se move sobre uma circunferência de centro na origem.
Passo 1
O enunciado dá a posição paramétrica de uma partícula em função do tempo:
. O conteúdo aqui é geometria analítica — queremos achar a equação implícita da curva traçada por
.
Passo 2
Definimos as componentes do vetor posição como
e
. Vamos usar essas expressões para obter uma relação entre
e
que seja independente de
.
Passo 3
Calculamos a soma dos quadrados:
Agora expandimos o numerador:
$$(1-t{2}){2} + 4t^{2} = 1 -2t^{2} + t^{4} + 4t^{2} = 1 + 2t^{2} + t^{4} = (1+t{2}){2}.
Passo 4
Essa igualdade mostra que todos os pontos
da trajetória satisfazem
. Portanto, a partícula se move sobre a circunferência de centro na origem e raio 1.
Resposta
A trajetória satisfaz
, caracterizando uma circunferência de centro na origem e raio 1.