Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Estamos interessados no comportamento da expressão quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeira tentativa: testar substituição direta. Se eu colocar
no numerador e no denominador, o que acontece?
Calcular o numerador em :
Calcular o numerador em
Agora somar/subtrair passo a passo:
O numerador vale
em
. O denominador em
é
. Então a forma é
, uma indeterminação — não dá para avaliar o limite por substituição direta. Precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Ideia para simplificar: quando a substituição direta dá
, muitas vezes o numerador tem o mesmo fator que o denominador. Pelo Teorema do Resto / Teorema do Fator: se
então
é fator de
. Ou seja, existe um polinômio
tal que
Para encontrar
podemos usar divisão de polinômios. Vou usar a divisão sintética (método de Ruffini), que é rápido e adequado quando dividimos por um binômio da forma
.
Explicando a divisão sintética (passo a passo):
- Escreve-se os coeficientes do polinômio dividendo, do termo de maior grau ao termo independente.
- Usa-se o valor
(aqui ) para “trazer” e multiplicar sucessivamente, obtendo os coeficientes do quociente e o resto. - Se o resto for
, é de fato fator.
Passo 4
Aplicando divisão sintética com
. Coeficientes do numerador:
(para
),
(para
),
(para
),
(termo constante).
Montagem e operações (cada linha é um passo da sintética):
- Trago o
para baixo (primeiro coeficiente do quociente). - Multiplico
por , obtenho . Somo isso com : . - Multiplico
por , obtenho . Somo com : . - Multiplico
por , obtenho . Somo com : (resto).
Assim os coeficientes do quociente são
e o resto é
. Portanto
Passo 5
Confirmação rápida (expandindo) para ficar cristalino:
o que coincide com o numerador original.
Passo 6
Como para
podemos simplificar a fração cancelando
, temos
Então o limite quando
é o mesmo que
Polinômios são funções contínuas em todo lugar, portanto o limite é simplesmente o valor da função no ponto:
Calcule passo a passo:
Passo 7
Conclusão: o limite pedido é
. Força aí — deu trabalho mas a ideia principal é procurar fator comum quando aparece
; a divisão sintética é uma ferramenta rápida pra isso.