Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-5 x^{2}+8 x-6}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 3}\frac{x^{3}-5x^{2}+8x-6}{x-3}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{3}-5x^{2}+8x-6.
  • Denominador: x-3.
  • Estamos interessados no comportamento da expressão quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Primeira tentativa: testar substituição direta. Se eu colocar x=3 no numerador e no denominador, o que acontece?
Calcular o numerador em x=3:
3^{3}-5\cdot3^{2}+8\cdot3-6 = 27-45+24-6.
Agora somar/subtrair passo a passo:
27-45 = -18,
-18+24 = 6,
6-6 = 0.
O numerador vale 0 em x=3. O denominador em x=3 é 3-3=0. Então a forma é \frac{0}{0}, uma indeterminação — não dá para avaliar o limite por substituição direta. Precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Ideia para simplificar: quando a substituição direta dá \frac{0}{0}, muitas vezes o numerador tem o mesmo fator que o denominador. Pelo Teorema do Resto / Teorema do Fator: se f(3)=0 então (x-3) é fator de f(x). Ou seja, existe um polinômio q(x) tal que
x^{3}-5x^{2}+8x-6=(x-3)\,q(x).
Para encontrar q(x) podemos usar divisão de polinômios. Vou usar a divisão sintética (método de Ruffini), que é rápido e adequado quando dividimos por um binômio da forma x-a.
Explicando a divisão sintética (passo a passo):
  • Escreve-se os coeficientes do polinômio dividendo, do termo de maior grau ao termo independente.
  • Usa-se o valor a (aqui a=3) para “trazer” e multiplicar sucessivamente, obtendo os coeficientes do quociente e o resto.
  • Se o resto for 0, x-a é de fato fator.

Passo 4

Aplicando divisão sintética com a=3. Coeficientes do numerador: 1 (para x^{3}), -5 (para x^{2}), 8 (para x), -6 (termo constante).
Montagem e operações (cada linha é um passo da sintética):
  • Trago o 1 para baixo (primeiro coeficiente do quociente).
  • Multiplico 1 por 3, obtenho 3. Somo isso com -5: -5+3=-2.
  • Multiplico -2 por 3, obtenho -6. Somo com 8: 8+(-6)=2.
  • Multiplico 2 por 3, obtenho 6. Somo com -6: -6+6=0 (resto).
Assim os coeficientes do quociente são 1,\,-2,\,2 e o resto é 0. Portanto
x^{3}-5x^{2}+8x-6=(x-3)\bigl(x^{2}-2x+2\bigr).

Passo 5

Confirmação rápida (expandindo) para ficar cristalino:
(x-3)\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)
= x\cdot x^{2}-x\cdot2x+x\cdot2-3\cdot x^{2}+3\cdot2x-3\cdot2
= x^{3}-2x^{2}+2x-3x^{2}+6x-6
= x^{3}-5x^{2}+8x-6,
o que coincide com o numerador original.

Passo 6

Como para x\neq 3 podemos simplificar a fração cancelando (x-3), temos
\frac{x^{3}-5x^{2}+8x-6}{x-3} = x^{2}-2x+2\quad\text{para }x\neq 3.
Então o limite quando x\to 3 é o mesmo que
\lim_{x\to 3}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr).
Polinômios são funções contínuas em todo lugar, portanto o limite é simplesmente o valor da função no ponto:
\lim_{x\to 3}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)=3^{2}-2\cdot3+2.
Calcule passo a passo:
3^{2}=9,
2\cdot3=6,
9-6+2=5.

Passo 7

Conclusão: o limite pedido é 5. Força aí — deu trabalho mas a ideia principal é procurar fator comum quando aparece \frac{0}{0}; a divisão sintética é uma ferramenta rápida pra isso.

Resposta

5

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