Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-3 x^{3}+x^{2}+4 x-4}{x^{3}-4 x^{2}+5 x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-3x^{3}+x^{2}+4x-4}{x^{3}-4x^{2}+5x-2}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{4}-3x^{3}+x^{2}+4x-4.
  • Denominador: x^{3}-4x^{2}+5x-2.
    O objetivo é usar divisão de polinômios (fatoração por divisão) para simplificar a expressão e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro verifiquemos a substituição direta para saber se temos uma indeterminação:
\text{Numerador em }x=2:\quad 2^{4}-3\cdot2^{3}+2^{2}+4\cdot2-4 = 16-24+4+8-4 = 0.
\text{Denominador em }x=2:\quad 2^{3}-4\cdot2^{2}+5\cdot2-2 = 8-16+10-2 = 0.
Como obtemos 0/0, é uma forma indeterminada e podemos tentar fatorar um fator comum (x-2) usando divisão de polinômios.

Passo 3

Explicando a técnica (rápida e prática): se p(2)=0 então (x-2) é fator do polinômio p(x). Para retirar esse fator usamos divisão sintética (uma forma rápida de divisão por (x-2)). Mostrarei os passos da divisão sintética para denominador e numerador.

Passo 4

Dividindo o denominador x^{3}-4x^{2}+5x-2 por (x-2) via divisão sintética (coeficientes 1,\,-4,\,5,\,-2):
  • Baixa o 1.
  • Multiplica por 2: 1\cdot2=2. Soma com -4 -2.
  • Multiplica por 2: -2\cdot2=-4. Soma com 5 1.
  • Multiplica por 2: 1\cdot2=2. Soma com -2 0 (resto).
    Os coeficientes do quociente são 1,\,-2,\,1, logo o quociente é x^{2}-2x+1 e o resto é 0. Assim
x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-2)\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Observação: x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.

Passo 5

Agora dividimos o numerador x^{4}-3x^{3}+x^{2}+4x-4 por (x-2) usando divisão sintética (coeficientes 1,\,-3,\,1,\,4,\,-4):
  • Baixa o 1.
  • Multiplica por 2: 1\cdot2=2. Soma com -3 -1.
  • Multiplica por 2: -1\cdot2=-2. Soma com 1 -1.
  • Multiplica por 2: -1\cdot2=-2. Soma com 4 2.
  • Multiplica por 2: 2\cdot2=4. Soma com -4 0 (resto).
    Os coeficientes do quociente são 1,\,-1,\,-1,\,2, logo o quociente é x^{3}-x^{2}-x+2. Assim
x^{4}-3x^{3}+x^{2}+4x-4=(x-2)\bigl(x^{3}-x^{2}-x+2\bigr).

Passo 6

Com as fatorações obtidas, para x\neq 2 podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum (x-2):
\frac{x^{4}-3x^{3}+x^{2}+4x-4}{x^{3}-4x^{2}+5x-2} =\frac{(x-2)\bigl(x^{3}-x^{2}-x+2\bigr)}{(x-2)\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)} =\frac{x^{3}-x^{2}-x+2}{x^{2}-2x+1}.

Passo 7

Agora que a indeterminação foi removida, usamos que polinômios e quocientes de polinômios (quando o denominador não é zero) são funções contínuas, então o limite quando x\to2 é obtido substituindo x=2 na expressão simplificada:
Calcule o numerador simplificado em x=2:
2^{3}-2^{2}-2+2 = 8-4-2+2 = 4.
Calcule o denominador simplificado em x=2:
2^{2}-2\cdot2+1 = 4-4+1 = 1.
Portanto o valor do quociente em x=2 é 4/1=4.

Resposta

4

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