Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O objetivo é usar divisão de polinômios (fatoração por divisão) para simplificar a expressão e então calcular o limite.
Passo 2
Primeiro verifiquemos a substituição direta para saber se temos uma indeterminação:
Como obtemos
, é uma forma indeterminada e podemos tentar fatorar um fator comum
usando divisão de polinômios.
Passo 3
Explicando a técnica (rápida e prática): se
então
é fator do polinômio
. Para retirar esse fator usamos divisão sintética (uma forma rápida de divisão por
). Mostrarei os passos da divisão sintética para denominador e numerador.
Passo 4
Dividindo o denominador
por
via divisão sintética (coeficientes
):
- Baixa o
. - Multiplica por
: . Soma com dá . - Multiplica por
: . Soma com dá . - Multiplica por
: . Soma com dá (resto).
Os coeficientes do quociente são, logo o quociente é e o resto é . Assim
Observação:
.
Passo 5
Agora dividimos o numerador
por
usando divisão sintética (coeficientes
):
- Baixa o
. - Multiplica por
: . Soma com dá . - Multiplica por
: . Soma com dá . - Multiplica por
: . Soma com dá . - Multiplica por
: . Soma com dá (resto).
Os coeficientes do quociente são, logo o quociente é . Assim
Passo 6
Com as fatorações obtidas, para
podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum
:
Passo 7
Agora que a indeterminação foi removida, usamos que polinômios e quocientes de polinômios (quando o denominador não é zero) são funções contínuas, então o limite quando
é obtido substituindo
na expressão simplificada:
Calcule o numerador simplificado em :
Calcule o numerador simplificado em
Calcule o denominador simplificado em
:
Portanto o valor do quociente em
é
.
Resposta
4