Fatoração de equações do segundo grau: Calcule os limites abaixo.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois limites. As expressões dadas são:
- (a)
. - (b)
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Em ambos os casos a substituição direta de
pelo ponto de interesse gera uma forma (indeterminada), então será necessário simplificar a expressão antes de avaliar o limite. - As expressões envolvem polinômios de segundo grau no numerador (fatoráveis) e polinômio no denominador. Portanto a técnica natural é fatorar e cancelar fatores comuns.
Passo 2
Por que não podemos apenas substituir o valor e terminar? Vou mostrar isso explicitamente para cada limite:
- Para (a): substituindo
em obtém-se . A forma é indeterminada — não permite concluir o valor do limite sem manipular a expressão. - Para (b): substituindo
em obtém-se , também indeterminado.
Quando aparece
com polinômios, uma estratégia padrão é fatorar os polinômios e cancelar o fator que causa o zero no denominador (quando for um fator comum), obtendo uma expressão equivalente para
próximo do ponto mas não igual — isso permite avaliar o limite.
Passo 3
Pequena aula sobre fatoração de quadráticas (passo a passo útil em prova):
- Uma quadrática geral é
. Se (caso mais simples), procuramos dois números e tais que e . Então
- Exemplo rápido: para
precisamos de dois números cujo produto é e cuja soma é . Esses números são e , pois e . Assim
- Sempre que fatorarmos e encontrarmos um fator comum com o denominador, podemos cancelar esse fator desde que observemos que a igualdade algébrica só vale para
diferente do ponto que zera o fator (isso é suficiente para calcular o limite, pois o limite considera valores próximos mas não necessariamente iguais ao ponto).
Passo 4
Resolvendo o item (a) usando o que aprendeu:
Fatoramos o numerador conforme indicado:
Fatoramos o numerador conforme indicado:
Substituindo na fração:
Como estamos interessados no limite quando
, podemos cancelar o fator
porque para
próximo de
(mas
) a expressão é igual a
Agora a função simplificada
é contínua em
, então o limite é simplesmente o valor em
:
Passo 5
Resolvendo o item (b) com fatoração:
Fatoramos numerador e denominador:
Fatoramos numerador e denominador:
Substituindo na fração:
Para
próximo de
(mas
) podemos cancelar o fator comum
, ficando
A função
é contínua em
, então o limite é o valor obtido por substituição:
Passo 6
Interpretação final rápida (conceito usado): quando uma função racional apresenta forma indeterminada
num ponto por causa de um fator comum, esse ponto é uma descontinuidade removível. Ao simplificar (fatorar e cancelar) obtemos uma função que coincide com a original em todos os pontos próximos ao ponto de interesse (exceto no próprio ponto), e portanto o limite é o valor da função simplificada no ponto.
Resposta
(a)
(b)