Fatoração de equações do segundo grau: Calcule os limites abaixo.
(a)
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}
(b)
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites. As expressões dadas são:
  • (a) \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}.
  • (b) \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Em ambos os casos a substituição direta de x pelo ponto de interesse gera uma forma \dfrac{0}{0} (indeterminada), então será necessário simplificar a expressão antes de avaliar o limite.
  • As expressões envolvem polinômios de segundo grau no numerador (fatoráveis) e polinômio no denominador. Portanto a técnica natural é fatorar e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Por que não podemos apenas substituir o valor e terminar? Vou mostrar isso explicitamente para cada limite:
  • Para (a): substituindo x=2 em \dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2} obtém-se \dfrac{2^{2}-5\cdot2+6}{2-2}=\dfrac{4-10+6}{0}=\dfrac{0}{0}. A forma \dfrac{0}{0} é indeterminada — não permite concluir o valor do limite sem manipular a expressão.
  • Para (b): substituindo x=1 em \dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1} obtém-se \dfrac{1-3+2}{1-1}=\dfrac{0}{0}, também indeterminado.
Quando aparece \dfrac{0}{0} com polinômios, uma estratégia padrão é fatorar os polinômios e cancelar o fator que causa o zero no denominador (quando for um fator comum), obtendo uma expressão equivalente para x próximo do ponto mas não igual — isso permite avaliar o limite.

Passo 3

Pequena aula sobre fatoração de quadráticas (passo a passo útil em prova):
  • Uma quadrática geral é \displaystyle ax^{2}+bx+c. Se a=1 (caso mais simples), procuramos dois números r e s tais que r\cdot s = c e r+s = b. Então
x^{2}+bx+c=(x-r)(x-s).
  • Exemplo rápido: para \displaystyle x^{2}-5x+6 precisamos de dois números cujo produto é 6 e cuja soma é -5. Esses números são -2 e -3, pois (-2)\cdot(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5. Assim
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
  • Sempre que fatorarmos e encontrarmos um fator comum com o denominador, podemos cancelar esse fator desde que observemos que a igualdade algébrica só vale para x diferente do ponto que zera o fator (isso é suficiente para calcular o limite, pois o limite considera valores próximos mas não necessariamente iguais ao ponto).

Passo 4

Resolvendo o item (a) usando o que aprendeu:
Fatoramos o numerador conforme indicado:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Substituindo na fração:
\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}.
Como estamos interessados no limite quando x\to 2, podemos cancelar o fator (x-2) porque para x próximo de 2 (mas x\neq 2) a expressão é igual a
\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3\quad\text{(para }x\neq 2\text{)}.
Agora a função simplificada x-3 é contínua em x=2, então o limite é simplesmente o valor em x=2:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x-3)=2-3=-1.

Passo 5

Resolvendo o item (b) com fatoração:
Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo na fração:
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}.
Para x próximo de 1 (mas x\neq 1) podemos cancelar o fator comum (x-1), ficando
\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}\quad\text{(para }x\neq 1\text{)}.
A função \dfrac{x-2}{x+1} é contínua em x=1, então o limite é o valor obtido por substituição:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final rápida (conceito usado): quando uma função racional apresenta forma indeterminada \dfrac{0}{0} num ponto por causa de um fator comum, esse ponto é uma descontinuidade removível. Ao simplificar (fatorar e cancelar) obtemos uma função que coincide com a original em todos os pontos próximos ao ponto de interesse (exceto no próprio ponto), e portanto o limite é o valor da função simplificada no ponto.

Resposta

(a) -1
(b) -\tfrac{1}{2}

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