Técnicas mistas: Calcule os limites abaixo usando as diferentes técnicas de fatoração.
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas para cada item.
(a) Calcular
- Ao substituir
na expressão obtemos numerador e denominador . Portanto a forma é .
(b) Calcular
- Ao substituir
obtemos numerador e denominador . Forma .
(c) Calcular
- Ao substituir
obtemos numerador e denominador . Forma .
Em todos os três casos temos indeterminação
. A técnica a usar é manipular algebricamente (fatorar ou racionalizar) a expressão para cancelar o fator que provoca a indeterminação e, então, avaliar o limite.
Passo 2
Resolução do item (a). Técnica: usar o conjugado para eliminar raízes no denominador.
- Relembrando a técnica do conjugado: para radicais com soma/diferença, usa-se a identidade
onde
e
são expressões (podem ser raízes). Aqui isso permite transformar uma diferença de radicais numa diferença sem raiz.
- Partimos da expressão
Multiplicamos numerador e denominador por
(o conjugado do denominador):
- Calcule o quadrado do radical no denominador:
Logo a fração vira
- Observação útil:
pode ser escrito em termos de como produto de conjugados:
Além disso
. Substituindo na expressão:
- Agora podemos cancelar o fator
(não zero em vizinhança de exceto no ponto em si, o que é permitido na simplificação para limite):
Finalmente, avaliamos em
:
Portanto o limite do item (a) é
.
Passo 3
Resolução do item (b). Técnica: fatorar polinômio e usar fatorização de diferença de cubos.
- Começamos com
Já notamos que ao substituir
a forma é
. Precisamos encontrar um fator comum que cancele.
- Fatoramos o polinômio do denominador. Procurando raízes fáceis,
anula o polinômio, então é fator. Fazendo fatoração:
(Verificação:
.)
- Para ligar o numerador ao fator
usamos a substituição . Assim e quando temos . Reescrevendo a expressão em :
Mas é mais direto usar a fatoração do denominador em
já encontrada e escrever
.
- Observe que
Usamos a identidade da diferença de cubos para fatorar
:
- Substituindo essas fatorações na expressão original:
Cancelamos o fator
:
- Agora podemos avaliar em
(que corresponde a ):
Portanto o limite do item (b) é
.
Passo 4
Resolução do item (c). Técnica: racionalizar o numerador (usar conjugado) e fatorar diferença de quadrados no denominador.
- Expressão inicial:
Substituindo
dá forma
.
- Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador,
:
Isto simplifica para
- Fatoramos o denominador
como diferença de quadrados:
Então a expressão fica
Cancelamos o fator
:
- Avaliando em
:
Ops — atenção! Isso não bate com o valor calculado anteriormente no rascunho. Voltemos ao passo de multiplicação: houve organização incorreta da razão. Refazendo cuidadosamente a racionalização:
Racionalizando corretamente:
Mas observe: ao multiplicar numerador e denominador por
o denominador original
permanece — ou seja, o fator
está apenas no numerador multiplicando e no denominador multiplicando, não devemos introduzir um produto extra no denominador. A forma correta de raciocinar é multiplicar e simplificar assim:
Começamos de novo com mais cuidado:
Agora note que
. Substituindo:
Esse é o mesmo resultado obtido antes; a avaliação em
deu
. Porém antes, no rascunho inicial, obtivemos
. Qual dos dois está certo? Vamos checar por um cálculo alternativo rápido (por exemplo, aproximando numericamente
perto de 3):
- Se
, então . Numerador . Denominador . Fração . Logo parece correto.
O erro no rascunho anterior foi uma simplificação apressada em que se confundiu o local de cancelamento do fator. A forma correta, já confirmada numericamente, é
.
- Conclusão para (c): o limite é
.
Passo 5
Resumo pedagógico rápido (dicas para a prova):
- Quando surgir indeterminação
com radicais, tente multiplicar por conjugado (usar ) para eliminar a raiz. - Quando aparecer raiz cúbica parecida com um valor (por exemplo
em ), é útil usar ou usar a fatoração da diferença de cubos . - Sempre tente fatorar o polinômio do denominador para encontrar fatores como
que podem cancelar com o numerador. - Se ficar em dúvida, faça uma checagem numérica aproximada para confirmar o sinal e a ordem de grandeza do limite (como fizemos no item (c)).
Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e pratique mais alguns exercícios parecidos!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)