Técnicas mistas: Calcule os limites abaixo usando as diferentes técnicas de fatoração.
(a)
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}-3}
(b)
\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x^{2}-10 x+16}
(c)
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x^{2}-9}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas para cada item.
(a) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}-3}.
  • Ao substituir x=4 na expressão obtemos numerador 2-\sqrt{4}=2-2=0 e denominador \sqrt{9}-3=3-3=0. Portanto a forma é 0/0.
(b) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x^{2}-10x+16}.
  • Ao substituir x=8 obtemos numerador \sqrt[3]{8}-2=2-2=0 e denominador 64-80+16=0. Forma 0/0.
(c) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x^{2}-9}.
  • Ao substituir x=3 obtemos numerador \sqrt{4}-2=0 e denominador 9-9=0. Forma 0/0.
Em todos os três casos temos indeterminação 0/0. A técnica a usar é manipular algebricamente (fatorar ou racionalizar) a expressão para cancelar o fator que provoca a indeterminação e, então, avaliar o limite.

Passo 2

Resolução do item (a). Técnica: usar o conjugado para eliminar raízes no denominador.
  1. Relembrando a técnica do conjugado: para radicais com soma/diferença, usa-se a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
onde a e b são expressões (podem ser raízes). Aqui isso permite transformar uma diferença de radicais numa diferença sem raiz.
  1. Partimos da expressão
\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}-3}.
Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+5}+3 (o conjugado do denominador):
\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}-3}\cdot\frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3} =\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x+5}+3)}{( \sqrt{x+5})^{2}-3^{2}}.
  1. Calcule o quadrado do radical no denominador:
(\sqrt{x+5})^{2}-3^{2}=x+5-9=x-4.
Logo a fração vira
\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x+5}+3)}{x-4}.
  1. Observação útil: x-4 pode ser escrito em termos de \sqrt{x} como produto de conjugados:
x-4=(\sqrt{x})^{2}-2^{2}=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).
Além disso 2-\sqrt{x}=-(\sqrt{x}-2). Substituindo na expressão:
\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x+5}+3)}{x-4} =\frac{-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x+5}+3)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.
  1. Agora podemos cancelar o fator \sqrt{x}-2 (não zero em vizinhança de x=4 exceto no ponto em si, o que é permitido na simplificação para limite):
-\frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x}+2}.
Finalmente, avaliamos em x=4:
-\frac{\sqrt{4+5}+3}{\sqrt{4}+2}=-\frac{3+3}{2+2}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}.
Portanto o limite do item (a) é -\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Resolução do item (b). Técnica: fatorar polinômio e usar fatorização de diferença de cubos.
  1. Começamos com
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x^{2}-10x+16}.
Já notamos que ao substituir x=8 a forma é 0/0. Precisamos encontrar um fator comum que cancele.
  1. Fatoramos o polinômio do denominador. Procurando raízes fáceis, x=8 anula o polinômio, então (x-8) é fator. Fazendo fatoração:
x^{2}-10x+16=(x-8)(x-2).
(Verificação: (x-8)(x-2)=x^{2}-2x-8x+16=x^{2}-10x+16.)
  1. Para ligar o numerador ao fator x-8 usamos a substituição t=\sqrt[3]{x}. Assim x=t^{3} e quando x\to 8 temos t\to 2. Reescrevendo a expressão em t:
\frac{t-2}{(t^{3})^{2}-10t^{3}+16} =\frac{t-2}{t^{6}-10t^{3}+16}.
Mas é mais direto usar a fatoração do denominador em x já encontrada e escrever x-8=t^{3}-8.
  1. Observe que
x^{2}-10x+16=(x-8)(x-2)=(t^{3}-8)(t^{3}-2).
Usamos a identidade da diferença de cubos para fatorar t^{3}-8:
t^{3}-2^{3}=(t-2)(t^{2}+2t+4).
  1. Substituindo essas fatorações na expressão original:
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x^{2}-10x+16} =\frac{t-2}{(t^{3}-8)(t^{3}-2)} =\frac{t-2}{(t-2)(t^{2}+2t+4)(t^{3}-2)}.
Cancelamos o fator t-2:
\frac{1}{(t^{2}+2t+4)(t^{3}-2)}.
  1. Agora podemos avaliar em t=2 (que corresponde a x=8):
\frac{1}{(2^{2}+2\cdot 2+4)(2^{3}-2)} =\frac{1}{(4+4+4)(8-2)} =\frac{1}{12\cdot 6} =\frac{1}{72}.
Portanto o limite do item (b) é \tfrac{1}{72}.

Passo 4

Resolução do item (c). Técnica: racionalizar o numerador (usar conjugado) e fatorar diferença de quadrados no denominador.
  1. Expressão inicial:
\frac{\sqrt{x+1}-2}{x^{2}-9}.
Substituindo x=3 dá forma 0/0.
  1. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, \sqrt{x+1}+2:
\frac{\sqrt{x+1}-2}{x^{2}-9}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} =\frac{(\sqrt{x+1})^{2}-2^{2}}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)} =\frac{x+1-4}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)}.
Isto simplifica para
\frac{x-3}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)}.
  1. Fatoramos o denominador x^{2}-9 como diferença de quadrados:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Então a expressão fica
\frac{x-3}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}.
Cancelamos o fator x-3:
\frac{1}{(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}.
  1. Avaliando em x=3:
\frac{1}{(3+3)(\sqrt{3+1}+2)}=\frac{1}{6\cdot(2+2)}=\frac{1}{6\cdot 4}=\frac{1}{24}.
Ops — atenção! Isso não bate com o valor calculado anteriormente no rascunho. Voltemos ao passo de multiplicação: houve organização incorreta da razão. Refazendo cuidadosamente a racionalização:
Racionalizando corretamente:
\frac{\sqrt{x+1}-2}{x^{2}-9}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} =\frac{x+1-4}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)} =\frac{x-3}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)}.
Mas observe: ao multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x+1}+2 o denominador original (x^{2}-9) permanece — ou seja, o fator (\sqrt{x+1}+2) está apenas no numerador multiplicando e no denominador multiplicando, não devemos introduzir um produto extra no denominador. A forma correta de raciocinar é multiplicar e simplificar assim:
Começamos de novo com mais cuidado:
\frac{\sqrt{x+1}-2}{x^{2}-9} =\frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)} =\frac{x+1-4}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)} =\frac{x-3}{(x^{2}-9)(\sqrt{x+1}+2)}.
Agora note que x^{2}-9=(x-3)(x+3). Substituindo:
\frac{x-3}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}.
Esse é o mesmo resultado obtido antes; a avaliação em x=3 deu \tfrac{1}{24}. Porém antes, no rascunho inicial, obtivemos \tfrac{2}{3}. Qual dos dois está certo? Vamos checar por um cálculo alternativo rápido (por exemplo, aproximando numericamente x perto de 3):
  • Se x=3{,}001, então \sqrt{x+1}\approx\sqrt{4{,}001}\approx2{,}00025. Numerador \approx 0{,}00025. Denominador x^{2}-9\approx9{,}006001-9=0{,}006001. Fração \approx 0{,}00025/0{,}006001\approx0{,}04166\approx 1/24. Logo \tfrac{1}{24} parece correto.
O erro no rascunho anterior foi uma simplificação apressada em que se confundiu o local de cancelamento do fator. A forma correta, já confirmada numericamente, é \tfrac{1}{24}.
  1. Conclusão para (c): o limite é \tfrac{1}{24}.

Passo 5

Resumo pedagógico rápido (dicas para a prova):
  • Quando surgir indeterminação 0/0 com radicais, tente multiplicar por conjugado (usar (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}) para eliminar a raiz.
  • Quando aparecer raiz cúbica parecida com um valor (por exemplo \sqrt[3]{x}-2 em x\to 8), é útil usar t=\sqrt[3]{x} ou usar a fatoração da diferença de cubos a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
  • Sempre tente fatorar o polinômio do denominador para encontrar fatores como x-a que podem cancelar com o numerador.
  • Se ficar em dúvida, faça uma checagem numérica aproximada para confirmar o sinal e a ordem de grandeza do limite (como fizemos no item (c)).
Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e pratique mais alguns exercícios parecidos!

Resposta

(a) -\dfrac{3}{2}
(b) \dfrac{1}{72}
(c) \dfrac{1}{24}

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