Em uma divisão, o quociente vale 30 e o resto vale 12 . Se dividirmos o dividendo e o divisor dessa divisão, simultaneamente, por 6, quais serão os valores do novo quociente e do novo resto?

Passo 1

O enunciado dá uma divisão inteira com quociente e resto. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
  • Foi informado que o quociente vale \;30\;.
  • Foi informado que o resto vale \;12\;.
  • Precisamos descobrir, quando dividirmos simultaneamente o dividendo e o divisor por \;6\;, quais serão o novo quociente e o novo resto.

Passo 2

Lembrete da fórmula básica da divisão inteira (teorema da divisão): se N é o dividendo, D é o divisor, q é o quociente e r é o resto, então vale a identidade
N = qD + r,
com 0 \le r < D.
Aqui os dados fornecidos correspondem a q=30 e r=12. Não sabemos D nem N numericamente, mas podemos trabalhar algebricamente.

Passo 3

Escrever a igualdade com os dados:
N = 30D + 12,
e lembrar a condição sobre o resto:
0 \le 12 < D,
ou seja D>12.

Passo 4

Agora aplicamos a operação pedida: dividir simultaneamente o dividendo e o divisor por \;6\;. Definimos os novos valores:
N'=\frac{N}{6},\qquad D'=\frac{D}{6}.
Vamos obter uma expressão para N' em função de D (e depois em função de D').

Passo 5

Calcular N' usando N=30D+12:
N'=\frac{N}{6}=\frac{30D+12}{6}=5D+2.
Agora lembramos que D=6D'. Substituindo:
N' = 5(6D') + 2 = 30D' + 2.

Passo 6

Interpretar a expressão obtida:
N' = 30D' + 2.
Isso está exatamente na forma da identidade da divisão inteira N' = Q' D' + R'. Portanto, comparando termos, o novo quociente é Q'=30 e o novo resto é R'=2, desde que R' satisfaça a condição de resto.

Passo 7

Verificar a condição do resto: é necessário ter 0 \le R' < D'. Aqui R'=2. Mas D'=\dfrac{D}{6} e já sabemos que D>12, logo
D'=\frac{D}{6}>\frac{12}{6}=2,
portanto 2 < D'. Assim 0 \le 2 < D' está garantido, então R'=2 é um resto válido.

Passo 8

Exemplo numérico curto para ganhar intuição (opcional, só para confirmar): se tomarmos D=18 (que satisfaz D>12), então N=30\cdot18+12=552. Dividindo ambos por 6 N'=92 e D'=3. De fato 92=30\cdot3+2, quociente 30, resto 2. Isso confirma o resultado geral.

Resposta

Quociente: 30
Resto: 2

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