Em uma divisão, o quociente vale 30 e o resto vale 12 . Se dividirmos o dividendo e o divisor dessa divisão, simultaneamente, por 6, quais serão os valores do novo quociente e do novo resto?
Passo 1
O enunciado dá uma divisão inteira com quociente e resto. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
- Foi informado que o quociente vale
. - Foi informado que o resto vale
. - Precisamos descobrir, quando dividirmos simultaneamente o dividendo e o divisor por
, quais serão o novo quociente e o novo resto.
Passo 2
Lembrete da fórmula básica da divisão inteira (teorema da divisão): se
é o dividendo,
é o divisor,
é o quociente e
é o resto, então vale a identidade
com
.
Aqui os dados fornecidos correspondem a e
. Não sabemos
nem
numericamente, mas podemos trabalhar algebricamente.
Aqui os dados fornecidos correspondem a
Passo 3
Escrever a igualdade com os dados:
e lembrar a condição sobre o resto:
ou seja
.
Passo 4
Agora aplicamos a operação pedida: dividir simultaneamente o dividendo e o divisor por
. Definimos os novos valores:
Vamos obter uma expressão para
em função de
(e depois em função de
).
Passo 5
Calcular
usando
:
Agora lembramos que
. Substituindo:
Passo 6
Interpretar a expressão obtida:
Isso está exatamente na forma da identidade da divisão inteira
. Portanto, comparando termos, o novo quociente é
e o novo resto é
, desde que
satisfaça a condição de resto.
Passo 7
Verificar a condição do resto: é necessário ter
. Aqui
. Mas
e já sabemos que
, logo
portanto
. Assim
está garantido, então
é um resto válido.
Passo 8
Exemplo numérico curto para ganhar intuição (opcional, só para confirmar): se tomarmos
(que satisfaz
), então
. Dividindo ambos por
dá
e
. De fato
, quociente
, resto
. Isso confirma o resultado geral.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: