O quociente e o resto de uma divisão são iguais e ambos inferiores em 3 unidades ao divisor. Se o dividendo vale 32, determine os demais termos.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que o dividendo vale \,32.
  • Diz também que o quociente e o resto são iguais.
  • E que ambos (quociente e resto) são inferiores em 3 unidades ao divisor.
O que se pede: determinar os demais termos da divisão, ou seja, o divisor, o quociente e o resto (já sabemos o dividendo: \,32).

Passo 2

Vamos traduzir o enunciado para variáveis e relembrar a propriedade básica da divisão inteira.
  • Defina:
    \,d = divisor,
    \,q = quociente,
    \,r = resto.
  • A propriedade da divisão (algoritmo da divisão) afirma que:
\text{dividendo} = \text{divisor}\times\text{quociente} + \text{resto}.
No nosso caso:
32 = d\cdot q + r.
  • Além disso, por definição do resto em divisão inteira:
0 \le r < d.
Isto é importante para garantir que o resto seja menor que o divisor.

Passo 3

Agora traduza as condições extras do enunciado em equações.
  • “O quociente e o resto são iguais” significa:
q = r.
  • “Ambos inferiores em 3 unidades ao divisor” significa:
q = d - 3.
Juntando as duas igualdades, obtemos:
r = d - 3.

Passo 4

Substitua q e r na relação da divisão para obter uma equação em d.
Começamos com
32 = d\cdot q + r.
Substituindo q = d - 3 e r = d - 3 obtemos
32 = d(d-3) + (d-3).
Colocando (d-3) em evidência:
32 = (d-3)(d+1).

Passo 5

Resolva a equação obtida.
Temos
(d-3)(d+1) = 32.
Expandindo:
d^2 -2d -3 = 32.
Trazendo tudo para o lado esquerdo:
d^2 -2d -35 = 0.
É uma equação quadrática. Calcule o discriminante \Delta:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-35) = 4 + 140 = 144.
As raízes são
d = \frac{2 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{2 \pm 12}{2}.
Logo as soluções são
d = 7 \quad\text{ou}\quad d = -5.
Como o divisor deve ser um número positivo, tomamos \,d = 7.
Agora volte às expressões para q e r:
q = d - 3 = 7 - 3 = 4, \qquad r = d - 3 = 4.
Verificação rápida da divisão:
d\cdot q + r = 7\cdot4 + 4 = 28 + 4 = 32,
que confere com o dividendo dado.

Passo 6

Resumo final (rápido e confiante): o divisor é \,7, o quociente é \,4 e o resto é \,4. Está tudo consistente com as condições do enunciado. Vai dar certo na prova — respira e confia no passo a passo 😃

Resposta

\text{Divisor } d = 7
\text{Quociente } q = 4
\text{Resto } r = 4

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