- Divisibilidade por 16.
Prove, por indução, que para todo
é divisível por 16 .
Passo 1
O enunciado pede: provar, por indução, que para todo
a expressão
é divisível por
.
Informações e o que temos disponível:
- A variável
é um inteiro com . - A propriedade a provar é:
é múltiplo de ; isto é, existe um inteiro tal que
- Vamos usar o princípio da indução matemática: provar o caso base (geralmente
) e provar que, se a propriedade vale para um arbitrário, então vale para .
Passo 2
Base da indução (
). Vou calcular a expressão para
e verificar se é múltipla de
.
Calculemos:
Sabemos que
, então
E
. Logo
é múltiplo de
. Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, a propriedade seja verdadeira; isto é, suponha que exista um inteiro
tal que
Aqui
depende de
; a interpretação é: assumimos que para um certo
a expressão é igual a
vezes algum inteiro.
Passo 4
Passo indutivo — provar a propriedade para
. Quero mostrar que
é múltiplo de
.
Primeiro simplifico a expressão:
Agora uso a identidade
(multiplicação de potências com mesma base):
Substituindo na expressão:
Agora uso a hipótese de indução, que nos dá
(isto vem de rearranjar
). Substituo essa igualdade na expressão acima:
Faço a distribuição e simplifico passo a passo (mostrando cada operação para ficar tranquilo na prova):
Agrupo termos semelhantes:
Agora fatoro
(porque
,
,
):
O parêntese
é um inteiro (pois
são inteiros), então a expressão é
vezes um inteiro. Portanto
ou seja, é múltipla de
.
Passo 5
Conclusão da indução. Mostramos que:
- a propriedade vale para
(Passo 2); - se a propriedade vale para um
arbitrário (hipótese de Passo 3), então ela vale para (Passo 4).
Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro
: para cada
existe um inteiro
tal que
. Em outras palavras,
é divisível por
para todo
.
Resposta
Para todo
,
é divisível por
.