1. Divisibilidade por 16.
Prove, por indução, que para todo n \geq 1,3^{2 n+2}+8 n-9 é divisível por 16 .

Passo 1

O enunciado pede: provar, por indução, que para todo n\geq 1 a expressão 3^{2n+2}+8n-9 é divisível por 16.
Informações e o que temos disponível:
  • A variável n é um inteiro com n\geq 1.
  • A propriedade a provar é: 3^{2n+2}+8n-9 é múltiplo de 16; isto é, existe um inteiro m tal que
3^{2n+2}+8n-9=16m.
  • Vamos usar o princípio da indução matemática: provar o caso base (geralmente n=1) e provar que, se a propriedade vale para um n arbitrário, então vale para n+1.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Vou calcular a expressão para n=1 e verificar se é múltipla de 16.
Calculemos:
3^{2\cdot 1+2}+8\cdot 1-9 = 3^{4}+8-9.
Sabemos que 3^{4}=81, então
81+8-9 = 80.
E 80 = 16\cdot 5. Logo 80 é múltiplo de 16. Portanto a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum n\geq 1, a propriedade seja verdadeira; isto é, suponha que exista um inteiro k tal que
3^{2n+2}+8n-9 = 16k.
Aqui k depende de n; a interpretação é: assumimos que para um certo n a expressão é igual a 16 vezes algum inteiro.

Passo 4

Passo indutivo — provar a propriedade para n+1. Quero mostrar que
3^{2(n+1)+2}+8(n+1)-9
é múltiplo de 16.
Primeiro simplifico a expressão:
3^{2(n+1)+2}+8(n+1)-9 = 3^{2n+4}+8n+8-9 = 3^{2n+4}+8n-1.
Agora uso a identidade 3^{2n+4}=3^{2n+2}\cdot 3^{2} (multiplicação de potências com mesma base):
3^{2n+4} = 9\cdot 3^{2n+2}.
Substituindo na expressão:
3^{2n+4}+8n-1 = 9\cdot 3^{2n+2} + 8n - 1.
Agora uso a hipótese de indução, que nos dá 3^{2n+2} = 16k - 8n + 9 (isto vem de rearranjar \,3^{2n+2}+8n-9=16k). Substituo essa igualdade na expressão acima:
9\cdot 3^{2n+2} + 8n - 1 = 9\cdot (16k - 8n + 9) + 8n - 1.
Faço a distribuição e simplifico passo a passo (mostrando cada operação para ficar tranquilo na prova):
9\cdot (16k - 8n + 9) + 8n - 1 = 144k -72n +81 +8n -1.
Agrupo termos semelhantes:
144k -72n +81 +8n -1 = 144k -64n +80.
Agora fatoro 16 (porque 144=16\cdot 9, 64=16\cdot 4, 80=16\cdot 5):
144k -64n +80 = 16(9k -4n +5).
O parêntese 9k-4n+5 é um inteiro (pois k,n são inteiros), então a expressão é 16 vezes um inteiro. Portanto
3^{2(n+1)+2}+8(n+1)-9 = 16(9k-4n+5),
ou seja, é múltipla de 16.

Passo 5

Conclusão da indução. Mostramos que:
  • a propriedade vale para n=1 (Passo 2);
  • se a propriedade vale para um n arbitrário (hipótese de Passo 3), então ela vale para n+1 (Passo 4).
Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro n\geq 1: para cada n existe um inteiro m tal que 3^{2n+2}+8n-9=16m. Em outras palavras, 3^{2n+2}+8n-9 é divisível por 16 para todo n\geq 1.

Resposta

Para todo n\geq 1, 3^{2n+2}+8n-9 é divisível por 16.

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