Prove, por indução, que para todo n \geq 1 :
\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2 n-1}{2 n} \leq \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede que provemos, por indução, que para todo n\ge 1 vale a desigualdade
\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.
Informações relevantes dadas:
P_n:=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}
é o produto que aparece à esquerda, e o lado direito é \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}.
A tarefa é mostrar que P_n\le 1/\sqrt{2n+1} para todo n\ge1, usando indução.

Passo 2

Breve lembrete do princípio da indução (pra gente ficar tranquilo sobre a técnica): para provar que uma propriedade A(n) vale para todo n\ge 1 basta
(1) provar a base: A(1) é verdadeira; e
(2) provar o passo indutivo: assumindo A(n) verdadeira, mostrar que disso decorre A(n+1).
Aqui A(n) é a afirmação P_n\le 1/\sqrt{2n+1}.

Passo 3

Vamos checar n=1.
P_1=\frac{1}{2}.
O lado direito para n=1 é
\frac{1}{\sqrt{2\cdot 1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Como \dfrac{1}{2}=0,5 e \dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577, temos \dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Logo a base A(1) é verdadeira.

Passo 4

Suponha que para algum n\ge1 já temos a hipótese de indução
P_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.
A partir disso queremos provar que
P_{n+1}=\prod_{k=1}^{n+1}\frac{2k-1}{2k}\le \frac{1}{\sqrt{2(n+1)+1}}=\frac{1}{\sqrt{2n+3}}.

Passo 5

Note que
P_{n+1}=P_n\cdot\frac{2n+1}{2n+2}.
Usando a hipótese P_n\le 1/\sqrt{2n+1} obtemos
P_{n+1}\le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2n+2}.
Portanto basta mostrar que
\frac{\sqrt{2n+1}}{2n+2}\le \frac{1}{\sqrt{2n+3}}.

Passo 6

A desigualdade do passo anterior é equivalente (multiplicando ambos os lados por quantidades positivas) a
\sqrt{2n+1}\cdot\sqrt{2n+3}\le 2n+2.
Aqui usei que \sqrt{2n+1} e \sqrt{2n+3} são não-negativos, então podemos multiplicar sem mudar o sentido. Agora, como ambos os lados são não-negativos, é legítimo elevar ao quadrado; ao quadrar obtemos a equivalência
(2n+1)(2n+3)\le (2n+2)^2.
Desenvolvendo os dois lados:
(2n+1)(2n+3)=4n^2+8n+3,
(2n+2)^2=4n^2+8n+4.
Comparando, 4n^2+8n+3\le 4n^2+8n+4 é claramente verdadeira porque 3\le 4. Logo a desigualdade quadrática vale, e portanto a desigualdade com raízes vale também.

Passo 7

Concluímos que, assumindo P_n\le 1/\sqrt{2n+1}, obtemos P_{n+1}\le 1/\sqrt{2n+3}. Juntando com a base n=1, pelo princípio da indução a desigualdade
\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}
vale para todo n\ge 1. Boa! Conseguimos fechar o raciocínio.

Resposta

\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}

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