Prove, por indução, que para todo
:
Passo 1
O enunciado pede que provemos, por indução, que para todo
vale a desigualdade
Informações relevantes dadas:
é o produto que aparece à esquerda, e o lado direito é
.
A tarefa é mostrar que para todo
, usando indução.
A tarefa é mostrar que
Passo 2
Breve lembrete do princípio da indução (pra gente ficar tranquilo sobre a técnica): para provar que uma propriedade
vale para todo
basta
(1) provar a base: é verdadeira; e
(2) provar o passo indutivo: assumindo verdadeira, mostrar que disso decorre
.
Aqui é a afirmação
.
(1) provar a base:
(2) provar o passo indutivo: assumindo
Aqui
Passo 3
Vamos checar
.
O lado direito para
é
Como
e
, temos
. Logo a base
é verdadeira.
Passo 4
Suponha que para algum
já temos a hipótese de indução
A partir disso queremos provar que
Passo 5
Note que
Usando a hipótese
obtemos
Portanto basta mostrar que
Passo 6
A desigualdade do passo anterior é equivalente (multiplicando ambos os lados por quantidades positivas) a
Aqui usei que
e
são não-negativos, então podemos multiplicar sem mudar o sentido. Agora, como ambos os lados são não-negativos, é legítimo elevar ao quadrado; ao quadrar obtemos a equivalência
Desenvolvendo os dois lados:
Comparando,
é claramente verdadeira porque
. Logo a desigualdade quadrática vale, e portanto a desigualdade com raízes vale também.
Passo 7
Concluímos que, assumindo
, obtemos
. Juntando com a base
, pelo princípio da indução a desigualdade
vale para todo
. Boa! Conseguimos fechar o raciocínio.