1. Divisibilidade por 9.
Prove, por indução, que para todo n \geq 1,4^{n}+6 n-1 é divisível por 9 .

Passo 1

O enunciado pede que se prove, para todo n\ge 1, que o número 4^{n}+6n-1 é divisível por 9.
Informações dadas e pedido explicitado:
\text{Dado: }n\in\mathbb{Z},\; n\ge 1.
\text{Provar: }9\mid\bigl(4^{n}+6n-1\bigr)\quad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 2

Explico rapidamente o método que vamos usar: prova por indução matemática simples. A ideia em duas etapas:
  1. Verificar o caso base (um n inicial, aqui n=1).
  2. Fazer o passo indutivo: assumir que a propriedade vale para um n arbitrário (hipótese indutiva) e provar que então ela vale para n+1.
    Se esses dois passos forem feitos, concluímos que a propriedade vale para todo n\ge 1.

Passo 3

Caso base n=1. Calculo direto:
4^{1}+6\cdot 1-1 = 4+6-1 = 9.
Como 9 é divisível por 9, o caso base está correto.

Passo 4

Hipótese indutiva. Suponha que, para algum n\ge 1, já sabemos que 4^{n}+6n-1 é divisível por 9. Em notação de congruências, isto é:
4^{n}+6n-1 \equiv 0 \pmod{9}.
Essa congruência significa que existe um inteiro k tal que 4^{n}+6n-1=9k, mas trabalhar com congruências é mais direto aqui.

Passo 5

A partir da hipótese indutiva isolamos 4^{n} em congruência:
4^{n} \equiv 1-6n \pmod{9}.
Isto é permitido porque podemos subtrair 6n-1 dos dois lados da congruência.

Passo 6

Agora calculamos a expressão para n+1:
4^{n+1}+6(n+1)-1 = 4\cdot 4^{n}+6n+5.
Usamos a congruência obtida no passo anterior e multiplicamos por 4. Pela propriedade das congruências (se a\equiv b\pmod{9} então 4a\equiv 4b\pmod{9}), temos
4\cdot 4^{n} \equiv 4(1-6n) = 4 - 24n \pmod{9}.
Como 24 \equiv 6 \pmod{9} (porque 24-9\cdot 2=6), obtemos
4\cdot 4^{n} \equiv 4 - 6n \pmod{9}.

Passo 7

Somando os restantes termos da expressão para n+1 obtemos, em congruência:
4^{n+1}+6(n+1)-1 \equiv (4 - 6n) + 6n + 5 \pmod{9}.
Os termos -6n e +6n se cancelam, sobrando
4 + 5 = 9.
Portanto
4^{n+1}+6(n+1)-1 \equiv 9 \equiv 0 \pmod{9},
ou seja, 4^{n+1}+6(n+1)-1 é divisível por 9.

Passo 8

Conclusão da indução: como a propriedade é verdadeira para n=1 (passo base) e mostramos que, se é verdadeira para um n arbitrário então é verdadeira para n+1 (passo indutivo), por princípio da indução matemática a propriedade vale para todo n\ge 1. Parabéns — a prova está completa!

Resposta

Para todo n\ge 1, 4^{n}+6n-1 é divisível por 9.

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