- Divisibilidade por 9.
Prove, por indução, que para todo
é divisível por 9 .
Passo 1
O enunciado pede que se prove, para todo
, que o número
é divisível por 9.
Informações dadas e pedido explicitado:
Informações dadas e pedido explicitado:
Passo 2
Explico rapidamente o método que vamos usar: prova por indução matemática simples. A ideia em duas etapas:
- Verificar o caso base (um
inicial, aqui ). - Fazer o passo indutivo: assumir que a propriedade vale para um
arbitrário (hipótese indutiva) e provar que então ela vale para .
Se esses dois passos forem feitos, concluímos que a propriedade vale para todo.
Passo 3
Caso base
. Calculo direto:
Como
é divisível por
, o caso base está correto.
Passo 4
Hipótese indutiva. Suponha que, para algum
, já sabemos que
é divisível por
. Em notação de congruências, isto é:
Essa congruência significa que existe um inteiro
tal que
, mas trabalhar com congruências é mais direto aqui.
Passo 5
A partir da hipótese indutiva isolamos
em congruência:
Isto é permitido porque podemos subtrair
dos dois lados da congruência.
Passo 6
Agora calculamos a expressão para
:
Usamos a congruência obtida no passo anterior e multiplicamos por
. Pela propriedade das congruências (se
então
), temos
Como
(porque
), obtemos
Passo 7
Somando os restantes termos da expressão para
obtemos, em congruência:
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Portanto
ou seja,
é divisível por
.
Passo 8
Conclusão da indução: como a propriedade é verdadeira para
(passo base) e mostramos que, se é verdadeira para um
arbitrário então é verdadeira para
(passo indutivo), por princípio da indução matemática a propriedade vale para todo
. Parabéns — a prova está completa!
Resposta
Para todo
,
é divisível por
.