Na determinaçio do Limite de Liquidex de um solo, de acordo com o Método Brasileiro NBR-6459, foram feitas cinco determinaçòes do nùmero de golpes para que a ranhura se feche, com teores de umidade crescente, tendo-se obtido os resultados apresentados a seguir. Qual o Limite de Liquidez deste solo:
Tentativa Umidade No de golpes
1 51,3 36
2 52,8 29
3 54,5 22
4 55,5 19
5 56,7 16

Passo 1

O enunciado pede para determinar o Limite de Liquidez (LL) do solo, a partir de cinco determinações do número de golpes até fechamento da ranhura, com teores de umidade crescentes. Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
\begin{array}{ccc} \text{Tentativa} & \text{Umidade (\%)} & \text{Nº de golpes} \\\\ 1 & 51{,}3 & 36 \\\\ 2 & 52{,}8 & 29 \\\\ 3 & 54{,}5 & 22 \\\\ 4 & 55{,}5 & 19 \\\\ 5 & 56{,}7 & 16 \\\ \end{array}º
Pergunta explícita: Qual o Limite de Liquidez (LL) deste solo?

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (passo didático): no método padrão (NBR-6459 / método de Casagrande) o Limite de Liquidez é o teor de umidade correspondente a \emph{25 golpes}. Como a relação entre teor de umidade e número de golpes costuma ser aproximadamente linear se representarmos o número de golpes em escala logarítmica, procedemos assim:
  • Traçar (ou usar cálculo) a reta que relaciona a umidade w com \log_{10}(N), onde N é o número de golpes.
  • Determinar o valor de w correspondente a N=25 (ou seja, \log_{10}(25)) por interpolação linear entre os pontos apropriados.
Aqui seguiremos a forma algébrica da interpolação linear em escala logarítmica (o mesmo que desenhar a reta no gráfico umidade × \log_{10}(N) e ler em N=25).

Passo 3

Escolha dos pontos para interpolar: para interpolação simples é prático usar os dois ensaios cujos números de golpes cercam 25. Observando os dados:
N=29 \text{ com } w=52{,}8\% \quad\text{e}\quad N=22 \text{ com } w=54{,}5\%.
Esses dois valores (29 e 22) envolvem 25, então interpolamos entre eles em termos de \log_{10}(N).

Passo 4

Fórmula de interpolação (explicada): se tivermos dois pontos (\log_{10}N_1, w_1) e (\log_{10}N_2, w_2), o valor w em \log_{10}N^\ast é dado por interpolação linear
w^\ast = w_1 + (w_2-w_1)\,\frac{\log_{10}N^\ast-\log_{10}N_1}{\log_{10}N_2-\log_{10}N_1}.
Aqui:
  • w^\ast é o teor de umidade procurado para N^\ast=25;
  • w_1,w_2 são as umidades medidas nos ensaios com N_1 e N_2.
Aplicando aos nossos dados, tomamos N_1=29,\; w_1=52{,}8 e N_2=22,\; w_2=54{,}5, e N^\ast=25.

Passo 5

Cálculo das componentes logarítmicas (explicando como obter): precisamos de \log_{10}(29), \log_{10}(22) e \log_{10}(25). Valores usados (típicos de tabela de logaritmos / calculadora):
\log_{10}(29)\approx 1{,}462398,\quad \log_{10}(22)\approx 1{,}342422,\quad \log_{10}(25)=\log_{10}(2{,}5\cdot 10)=1+\log_{10}(2{,}5)\approx 1{,}397940.
Observação didática: \log_{10}(25)=\log_{10}(5^2)=2\log_{10}(5) e como \log_{10}(5)\approx 0{,}69897 então 2\cdot0{,}69897=1{,}39794 (mesmo resultado).

Passo 6

Substituição na fórmula de interpolação e contas passo a passo:
Usando
w_1=52{,}8,\quad w_2=54{,}5,
\log_{10}N_1=\log_{10}(29)\approx 1{,}462398,\quad \log_{10}N_2=\log_{10}(22)\approx 1{,}342422,
\log_{10}N^\ast=\log_{10}(25)\approx 1{,}397940.
Compute a razão:
\frac{\log_{10}25-\log_{10}29}{\log_{10}22-\log_{10}29} = \frac{1{,}397940-1{,}462398}{1{,}342422-1{,}462398} = \frac{-0{,}064458}{-0{,}119976} \approx 0{,}5377.
Agora calcule w^\ast:
w^\ast = 52{,}8 + (54{,}5-52{,}8)\cdot 0{,}5377 =52{,}8 + 1{,}7\cdot 0{,}5377 =52{,}8 + 0{,}9131 \approx 53{,}7131.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (como costuma ser usado em geotecnia): w^\ast\approx 53{,}7\%.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: o Limite de Liquidez é o teor de umidade em que a amostra necessita de 25 golpes para fechar a ranhura; encontramos \approx 53{,}7\%. Isso está entre os valores medidos (52{,}8% a 54{,}5%), faz sentido físico e segue o procedimento de interpolação em escala logarítmica recomendado.

Resposta

53{,}7\%

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