- Soma das potências de 2.
Prove, por indução, que para todo
:
Passo 1
O enunciado pede que se prove, por indução, que para todo
vale a igualdade
Informações dadas:
- A soma é
, isto é, . - A afirmação deve valer para todo inteiro
com . - O método exigido é indução matemática.
Passo 2
Primeiro passo da indução: checar a base
. Vamos calcular os dois lados para
.
O lado esquerdo é .
O lado direito é .
Agora substituímos os valores conhecidos: e
. Logo
O lado esquerdo é
O lado direito é
Agora substituímos os valores conhecidos:
Como
, a igualdade pedida no enunciado é falsa já para
. Portanto não podemos provar essa afirmação porque ela é incorreta.
Passo 3
Quando encontramos esse tipo de erro (a soma das potências de
não bater com o lado direito pedido), o mais sensato é identificar a fórmula correta conhecida para essa soma geométrica. A identidade correta é
Vou provar essa fórmula correta por indução, que é exatamente o método pedido no enunciado.
Passo 4
Explicando a ideia da indução (em miúdos): para provar que uma propriedade
vale para todo
fazemos duas coisas:
- Base: mostramos que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumimos que
é verdadeira para um qualquer (hipótese de indução) e então mostramos que dessa hipótese segue que também é verdadeira.
Se os dois passos funcionarem, a propriedade vale para todo.
Passo 5
Base da indução para a fórmula correta:
.
Calculamos .
Calculamos o lado direito .
Portanto para temos
Calculamos
Calculamos o lado direito
Portanto para
ou seja, a base é verdadeira.
Passo 6
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Essa é a nossa hipótese de trabalho; vamos usá-la para provar o caso
.
Passo 7
Passo indutivo: calcule a soma até
e use a hipótese.
Pela hipótese de indução substituímos
por
. Assim
Agora somamos os termos semelhantes:
. Usamos a propriedade de potências
, aqui
. Portanto
Isso mostra exatamente que
ou seja, a fórmula vale para
.
Passo 8
Concluímos pelo princípio da indução que a igualdade
é verdadeira para todo inteiro
. Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: para
a soma é
e
, bate certinho.
Resposta
A afirmação dada no enunciado é falsa. A forma correta é
.