1. Soma das potências de 2.
Prove, por indução, que para todo n \geq 0 :
\sum_{i=0}^{n} 2^{i}=2^{n+1}

Passo 1

O enunciado pede que se prove, por indução, que para todo n \geq 0 vale a igualdade
\sum_{i=0}^{n} 2^{i}=2^{n+1}.
Informações dadas:
  • A soma é \sum_{i=0}^{n}2^{i}, isto é, 2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{n}.
  • A afirmação deve valer para todo inteiro n com n\ge 0.
  • O método exigido é indução matemática.

Passo 2

Primeiro passo da indução: checar a base n=0. Vamos calcular os dois lados para n=0.
O lado esquerdo é \sum_{i=0}^{0}2^{i}=2^{0}.
O lado direito é 2^{0+1}=2^{1}.
Agora substituímos os valores conhecidos: \,2^{0}=1 e 2^{1}=2. Logo
\sum_{i=0}^{0}2^{i}=1 \quad\text{e}\quad 2^{0+1}=2.
Como 1\neq 2, a igualdade pedida no enunciado é falsa já para n=0. Portanto não podemos provar essa afirmação porque ela é incorreta.

Passo 3

Quando encontramos esse tipo de erro (a soma das potências de 2 não bater com o lado direito pedido), o mais sensato é identificar a fórmula correta conhecida para essa soma geométrica. A identidade correta é
\sum_{i=0}^{n}2^{i}=2^{n+1}-1.
Vou provar essa fórmula correta por indução, que é exatamente o método pedido no enunciado.

Passo 4

Explicando a ideia da indução (em miúdos): para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n\ge 0 fazemos duas coisas:
  1. Base: mostramos que P(0) é verdadeira.
  2. Passo indutivo: assumimos que P(n) é verdadeira para um n qualquer (hipótese de indução) e então mostramos que dessa hipótese segue que P(n+1) também é verdadeira.
    Se os dois passos funcionarem, a propriedade vale para todo n\ge 0.

Passo 5

Base da indução para a fórmula correta: n=0.
Calculamos \sum_{i=0}^{0}2^{i}=2^{0}=1.
Calculamos o lado direito \,2^{0+1}-1=2^{1}-1=2-1=1.
Portanto para n=0 temos
\sum_{i=0}^{0}2^{i}=1=2^{0+1}-1,
ou seja, a base é verdadeira.

Passo 6

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge 0 valha
\sum_{i=0}^{n}2^{i}=2^{n+1}-1.
Essa é a nossa hipótese de trabalho; vamos usá-la para provar o caso n+1.

Passo 7

Passo indutivo: calcule a soma até n+1 e use a hipótese.
\sum_{i=0}^{n+1}2^{i}=\left(\sum_{i=0}^{n}2^{i}\right)+2^{n+1}.
Pela hipótese de indução substituímos \sum_{i=0}^{n}2^{i} por 2^{n+1}-1. Assim
\sum_{i=0}^{n+1}2^{i}=(2^{n+1}-1)+2^{n+1}.
Agora somamos os termos semelhantes: 2^{n+1}+2^{n+1}=2\cdot 2^{n+1}. Usamos a propriedade de potências a\cdot a^{k}=a^{k+1}, aqui 2\cdot 2^{n+1}=2^{(n+1)+1}=2^{n+2}. Portanto
(2^{n+1}-1)+2^{n+1}=2\cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1.
Isso mostra exatamente que
\sum_{i=0}^{n+1}2^{i}=2^{(n+1)+1}-1,
ou seja, a fórmula vale para n+1.

Passo 8

Concluímos pelo princípio da indução que a igualdade
\sum_{i=0}^{n}2^{i}=2^{n+1}-1
é verdadeira para todo inteiro n\ge 0. Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: para n=3 a soma é 1+2+4+8=15 e 2^{3+1}-1=16-1=15, bate certinho.

Resposta

A afirmação dada no enunciado é falsa. A forma correta é \displaystyle \sum_{i=0}^{n}2^{i}=2^{n+1}-1.

Exercícios relacionados