Seja f:[0,1] R contínua, tal que f(0)=f(1). Prove que existe x in[0,1 / 2] tal que f(x)=f(x+1 / 2). Prove o mesmo resultado com 1 / 3 em vez de 1 / 2. Generalize.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando continuidade e o teorema do valor intermediário, que para uma função contínua f:[0,1]to R com f(0)=f(1) existe sempre um ponto x tal que f(x)=f(x+a), primeiro com a=1/2, depois com a=1/3 e por fim para a=1/n. Vamos usar a ideia de construir funções diferenças que mudam de sinal nas extremidades.

Passo 2

Definimos para a=1/2 a função auxiliar g:[0,1/2]to R por
g(x)=f(x)-fl(x+tfrac12r)
Como g é contínua, basta ver que
g(0)=f(0)-f(1/2), g(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)=-l(f(0)-f(1/2)r)=-g(0)
Logo g(0) e g(1/2) têm sinais opostos (ou um deles é zero), e pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin[0,1/2] tal que g(c)=0, isto é
f(c)=f(c+1/2)

Passo 3

Para a=1/3 repetimos a ideia, mas agora usamos três funções deslocadas. Definimos, para i=0,1,2:
hi(x)=fl(x+tfraci3r)-fl(x+tfraci+13r), xin[0,1/3]
Observando em x=0 que
h0(0)+h1(0)+h2(0)=l(f(0)-f(1/3)r)+l(f(1/3)-f(2/3)r)+l(f(2/3)-f(1)r)=f(0)-f(1)=0,
concluímos que nem todos os hi(0) podem ter o mesmo sinal. Se algum hk(0)=0, já achamos o ponto. Caso contrário, existem índices k tais que hk(0) e hk+1(0) têm sinais opostos. Mas note que
hkl(1/3r)=fl((k+1)/3r)-fl((k+2)/3r)=hk+1(0)
Então hk(0) e hk(1/3) têm sinais opostos, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin[0,1/3] tal que hk(c)=0. Isso dá
fl(c+k/3r)=fl(c+(k+1)/3r),
resolvendo o caso a=1/3.

Passo 4

No caso geral a=1/n, definimos para i=0,1,dots,n-1
Hi(x)=fl(x+tfracinr)-fl(x+tfraci+1nr), xin[0,1/n]
Em x=0 vale a soma telescópica
sumi=0^n-1Hi(0)=f(0)-f(1)=0,
onde novamente nem todos os Hi(0) podem ter o mesmo sinal. Se algum Hk(0)=0, está feito. Caso contrário, existem dois consecutivos Hk(0) e Hk+1(0) de sinais opostos. Mas
Hkl(1/nr)=Hk+1(0),
então Hk muda de sinal em [0,1/n] e pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin[0,1/n] tal que
Hk(c)=0Longrightarrow fl(c+k/nr)=fl(c+(k+1)/nr)
Usando a periodicidade f(1)=f(0), podemos deslocar esse ponto de volta para um xin[0,1/n] que também satisfaz
f(x)=f(x+1/n).

Passo 5

Concluímos que para cada inteiro n>=2 existe sempre xin[0,1/n] tal que f(x)=f(x+1/n).

Resposta

Para cada inteiro n≥2 existe x∈[0,1/n] tal que f(x)=f(x+1/n).

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