Seja
contínua, tal que
. Prove que existe
tal que
. Prove o mesmo resultado com
em vez de
. Generalize.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando continuidade e o teorema do valor intermediário, que para uma função contínua
com
existe sempre um ponto
tal que
, primeiro com
, depois com
e por fim para
. Vamos usar a ideia de construir funções diferenças que mudam de sinal nas extremidades.
Passo 2
Definimos para
a função auxiliar
por
Como
é contínua, basta ver que
Logo
e
têm sinais opostos (ou um deles é zero), e pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
, isto é
Passo 3
Para
repetimos a ideia, mas agora usamos três funções deslocadas. Definimos, para
:
Observando em
que
concluímos que nem todos os
podem ter o mesmo sinal. Se algum
, já achamos o ponto. Caso contrário, existem índices
tais que
e
têm sinais opostos. Mas note que
Então
e
têm sinais opostos, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
. Isso dá
resolvendo o caso
.
Passo 4
No caso geral
, definimos para
Em
vale a soma telescópica
onde novamente nem todos os
podem ter o mesmo sinal. Se algum
, está feito. Caso contrário, existem dois consecutivos
e
de sinais opostos. Mas
então
muda de sinal em
e pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Usando a periodicidade
, podemos deslocar esse ponto de volta para um
que também satisfaz
.
Passo 5
Concluímos que para cada inteiro
existe sempre
tal que
.
Resposta
Para cada inteiro n≥2 existe x∈[0,1/n] tal que f(x)=f(x+1/n).