Diz-se que uma sequência (
) tem variação limitada quando a sequência (
), dada por
, é limitada. Prove que, nesse caso,
converge. Prove também que:
(i) Se
tem variação limitada, então existe
.
(ii) Se
, para todo
, com
, então (
) tem variação limitada.
(iii) Dê um exemplo de uma sequência convergente que não seja de variação limitada.
(i) Se
(ii) Se
(iii) Dê um exemplo de uma sequência convergente que não seja de variação limitada.
Passo 1
O enunciado dá a definição: a sequência
tem variação limitada quando a sequência
é limitada. As tarefas são:
- Provar que, nessa hipótese, a sequência
converge. - (i) Provar que se
tem variação limitada, então existe . - (ii) Provar que se para todo
vale com , então tem variação limitada. - (iii) Dar um exemplo de uma sequência convergente que não seja de variação limitada.
Listei explicitamente o que é dado e o que se pede; agora vou provar cada item passo a passo.
Passo 2
Mostro primeiro que
é monotona não decrescente. Para isso escrevo
em função de
. Temos
Como
, segue que
para todo
. Logo
é monotona crescente (não decrescente).
Passo 3
Usando o que acabamos de ver:
é monotona crescente e, pela hipótese de variação limitada,
é também limitada superiormente por alguma constante
, isto é,
para todo
. Agora aplicamos o teorema clássico (teorema da convergência monotônica): qualquer sequência real monotona e limitada converge. Portanto
converge. Essa conclusão responde a afirmação inicial pedida no enunciado.
Breve explicação do porquê desse teorema: uma sequência monotona crescente com um limite superior tem um supremo finito; os termos se aproximam desse supremo e, por definição, convergem para ele.
Passo 4
Provo (i): se
tem variação limitada então existe
.
Raciocínio: já sabemos que
converge, então é uma sequência de Cauchy. Mais explicitamente, sendo
convergente, para todo
existe
tal que para todos
vale
Agora, para quaisquer
note que pela desigualdade triangular repetida (ou somando diferenças telescopicamente com módulo),
Reindexando, o lado direito é igual a
. Para
e
grandes (maiores que algum
) podemos garantir que essa soma seja
. Portanto, para todo
existe
tal que
sempre que
. Isso diz exatamente que
é uma sequência de Cauchy.
Finalmente usamos a completude de
: toda sequência de Cauchy em
converge para algum limite real. Conclui-se que
existe.
Comentário didático: a ideia é simples — se a soma das variações parciais se aproxima de um valor finito, as variações remanescentes tornam-se arbitrariamente pequenas, logo os termos finais da sequência ficam tão próximos entre si quanto quisermos, isto é, a sequência é Cauchy.
Passo 5
Provo (ii): se
para todos
com
, então
tem variação limitada.
Estratégia: a desigualdade dada produz uma sequência de diferenças
dominada por uma progressão geométrica; a soma de uma geométrica com razão
é finita, logo a variação total é limitada.
Detalhes: defina
. Pela hipótese,
Aplicando a hipótese recursivamente (indução), suponha que
para algum
. Então
Pelo princípio da indução, para todo
vale
Portanto a variação parcial
satisfaz
Como
, a soma geométrica é majorada por
. Logo
para todo
. Assim
é limitada, ou seja,
tem variação limitada.
Comentário prático: essa condição é típica de contracções nas diferenças; as oscilações vão sendo reduzidas geometricamente e a soma das oscilações converge.
Passo 6
Provo (iii): exemplo de sequência convergente que não tem variação limitada.
Considere a sequência das somas parciais da série alternada harmônica:
Pelo teste da série alternada (criterium de Leibniz), a série
converge; portanto a sequência
converge. De fato o limite é
.
Por outro lado, as diferenças sucessivas são exatamente os termos da série (com sinal):
logo as magnitudes das diferenças são
A variação parcial
é
Essa soma é (uma cauda da) série harmônica e diverge quando
. Portanto
não é limitada; ou seja,
não tem variação limitada, apesar de convergir.
Assim temos um exemplo concreto:
converge mas não tem variação limitada.
Passo 7
Resumo rápido do que foi mostrado:
-
é crescente e, se limitada, converge (teorema da convergência monotônica). - Se
tem variação limitada, então é Cauchy e, pela completude de , converge. - A condição de contração nas diferenças dá uma majoração geométrica das diferenças e implica variação limitada.
- Um exemplo de sequência convergente sem variação limitada é a sequência de somas parciais da série alternada harmônica.
Resposta
(i) Se
(ii) Se
(iii) Ex.: