Diz-se que uma sequência ( x_{n} ) tem variação limitada quando a sequência ( v_{n} ), dada por v_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|, é limitada. Prove que, nesse caso, \left(v_{n}\right) converge. Prove também que:
(i) Se \left(x_{n}\right) tem variação limitada, então existe \lim x_{n}.
(ii) Se \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \leq c\left|x_{n+1}-x_{n}\right|, para todo n \in \mathbb{N}, com 0 \leq c<1, então ( x_{n} ) tem variação limitada.
(iii) Dê um exemplo de uma sequência convergente que não seja de variação limitada.

Passo 1

O enunciado dá a definição: a sequência (x_n) tem variação limitada quando a sequência
v_n=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i+1}-x_i\right|
é limitada. As tarefas são:
  • Provar que, nessa hipótese, a sequência (v_n) converge.
  • (i) Provar que se (x_n) tem variação limitada, então existe \lim x_n.
  • (ii) Provar que se para todo n\in\mathbb{N} vale \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|\le c\left|x_{n+1}-x_n\right| com 0\le c<1, então (x_n) tem variação limitada.
  • (iii) Dar um exemplo de uma sequência convergente que não seja de variação limitada.
Listei explicitamente o que é dado e o que se pede; agora vou provar cada item passo a passo.

Passo 2

Mostro primeiro que (v_n) é monotona não decrescente. Para isso escrevo v_{n+1} em função de v_n. Temos
v_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}\left|x_{i+1}-x_i\right| =\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i+1}-x_i\right|\right)+\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| =v_n+\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|.
Como \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|\ge 0, segue que v_{n+1}\ge v_n para todo n. Logo (v_n) é monotona crescente (não decrescente).

Passo 3

Usando o que acabamos de ver: (v_n) é monotona crescente e, pela hipótese de variação limitada, (v_n) é também limitada superiormente por alguma constante M, isto é, v_n\le M para todo n. Agora aplicamos o teorema clássico (teorema da convergência monotônica): qualquer sequência real monotona e limitada converge. Portanto (v_n) converge. Essa conclusão responde a afirmação inicial pedida no enunciado.
Breve explicação do porquê desse teorema: uma sequência monotona crescente com um limite superior tem um supremo finito; os termos se aproximam desse supremo e, por definição, convergem para ele.

Passo 4

Provo (i): se (x_n) tem variação limitada então existe \lim x_n.
Raciocínio: já sabemos que (v_n) converge, então é uma sequência de Cauchy. Mais explicitamente, sendo (v_n) convergente, para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todos m>n\ge N vale
v_m-v_n=\sum_{i=n+1}^{m}\left|x_{i+1}-x_i\right|<\varepsilon.
Agora, para quaisquer m>n note que pela desigualdade triangular repetida (ou somando diferenças telescopicamente com módulo),
\left|x_m-x_n\right| \le \sum_{i=n}^{m-1}\left|x_{i+1}-x_i\right|.
Reindexando, o lado direito é igual a v_{m-1}-v_{n-1}. Para n e m grandes (maiores que algum N) podemos garantir que essa soma seja <\varepsilon. Portanto, para todo \varepsilon>0 existe N tal que |x_m-x_n|<\varepsilon sempre que m>n\ge N. Isso diz exatamente que (x_n) é uma sequência de Cauchy.
Finalmente usamos a completude de \mathbb{R}: toda sequência de Cauchy em \mathbb{R} converge para algum limite real. Conclui-se que \lim x_n existe.
Comentário didático: a ideia é simples — se a soma das variações parciais se aproxima de um valor finito, as variações remanescentes tornam-se arbitrariamente pequenas, logo os termos finais da sequência ficam tão próximos entre si quanto quisermos, isto é, a sequência é Cauchy.

Passo 5

Provo (ii): se \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|\le c\left|x_{n+1}-x_n\right| para todos n com 0\le c<1, então (x_n) tem variação limitada.
Estratégia: a desigualdade dada produz uma sequência de diferenças \left|x_{n+1}-x_n\right| dominada por uma progressão geométrica; a soma de uma geométrica com razão c<1 é finita, logo a variação total é limitada.
Detalhes: defina d:=\left|x_2-x_1\right|. Pela hipótese,
\left|x_3-x_2\right|\le c d.
Aplicando a hipótese recursivamente (indução), suponha que \left|x_{k+1}-x_k\right|\le c^{\,k-1} d para algum k\ge 1. Então
\left|x_{k+2}-x_{k+1}\right|\le c\left|x_{k+1}-x_k\right|\le c\cdot c^{\,k-1} d = c^{\,k} d.
Pelo princípio da indução, para todo n\ge 1 vale
\left|x_{n+1}-x_n\right|\le c^{\,n-1} d.
Portanto a variação parcial v_n satisfaz
v_n=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i+1}-x_i\right| \le \sum_{i=1}^{n} c^{\,i-1} d = d\sum_{i=0}^{n-1} c^{\,i}.
Como 0\le c<1, a soma geométrica é majorada por \sum_{i=0}^{\infty} c^{\,i}=\dfrac{1}{1-c}. Logo
v_n \le \frac{d}{1-c}
para todo n. Assim (v_n) é limitada, ou seja, (x_n) tem variação limitada.
Comentário prático: essa condição é típica de contracções nas diferenças; as oscilações vão sendo reduzidas geometricamente e a soma das oscilações converge.

Passo 6

Provo (iii): exemplo de sequência convergente que não tem variação limitada.
Considere a sequência das somas parciais da série alternada harmônica:
x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}.
Pelo teste da série alternada (criterium de Leibniz), a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k} converge; portanto a sequência (x_n) converge. De fato o limite é \ln 2.
Por outro lado, as diferenças sucessivas são exatamente os termos da série (com sinal):
x_{n+1}-x_n=\frac{(-1)^{n+2}}{n+1},
logo as magnitudes das diferenças são
\left|x_{n+1}-x_n\right|=\frac{1}{n+1}.
A variação parcial v_n é
v_n=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i+1}-x_i\right|=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}.
Essa soma é (uma cauda da) série harmônica e diverge quando n\to\infty. Portanto (v_n) não é limitada; ou seja, (x_n) não tem variação limitada, apesar de convergir.
Assim temos um exemplo concreto: \displaystyle x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k} converge mas não tem variação limitada.

Passo 7

Resumo rápido do que foi mostrado:
  • (v_n) é crescente e, se limitada, converge (teorema da convergência monotônica).
  • Se (x_n) tem variação limitada, então (x_n) é Cauchy e, pela completude de \mathbb{R}, converge.
  • A condição de contração nas diferenças dá uma majoração geométrica das diferenças e implica variação limitada.
  • Um exemplo de sequência convergente sem variação limitada é a sequência de somas parciais da série alternada harmônica.

Resposta

\displaystyle v_n converge (porque é crescente e limitada).
(i) Se (x_n) tem variação limitada então \lim x_n existe.
(ii) Se \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|\le c\left|x_{n+1}-x_n\right| com 0\le c<1, então (x_n) tem variação limitada (por majoração geométrica: v_n\le \dfrac{|x_2-x_1|}{1-c}).
(iii) Ex.: \displaystyle x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k} converge (para \ln 2) e não tem variação limitada, pois v_n=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}\to\infty.

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