Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências \left(x_{n}\right).
x_{n}=(1,0,-1,1,0,-1, \ldots)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(x_n\right) com os termos escritos explicitamente como
(1,0,-1,1,0,-1,\ldots),
ou seja, a sequência repete ciclicamente os valores \,1,0,-1\,$. As perguntas são: 1) Encontrar \(\limsup_{n\to\infty} x_n.
2) Encontrar \liminf_{n\to\infty} x_n.
3) Dizer o que se pode concluir sobre a sequência \left(x_n\right) (por exemplo: converge? quais são os pontos de acumulação? ela é limitada?).
Listei todas as informações relevantes: a sequência é periódica de período 3 e seus valores são somente \,1,0,-1, cada um aparecendo infinitas vezes.)

Passo 2

Definição e ideia prática de \limsup e \liminf. Vou dar as fórmulas e explicar em palavras:
\limsup_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \left(\sup_{k\ge n} x_k\right),
\liminf_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \left(\inf_{k\ge n} x_k\right).
O que isso significa na prática: para cada n olhamos todos os termos da sequência a partir de n (isto é, a cauda \{x_n,x_{n+1},x_{n+2},\dots\}). Tomamos o maior desses valores (o supremo da cauda) e obtemos uma nova sequência (dos supremos das caudas). O \limsup é o limite dessa nova sequência. De modo análogo para o \liminf com os ínfimos das caudas. Essas quantidades medem, respectivamente, o maior valor limite que a sequência pode “atingir” por subsequências e o menor valor limite.

Passo 3

Identificar explicitamente os valores possíveis e sua frequência. A sequência só assume os valores \,1,0,-1 e, por ser periódica de período 3, cada um desses valores aparece infinitely vezes. Em particular, para qualquer índice n existe algum k\ge n tal que x_k=1; também existe algum k'\ge n tal que x_{k'}=-1; e existe algum k''\ge n com x_{k''}=0.

Passo 4

Calcular \sup_{k\ge n} x_k para cada n. Como a cauda a partir de qualquer n contém sempre os três valores \,1,0,-1, o supremo dessa cauda é o maior entre esses três valores, que é \,1. Logo, para todo n,
\sup_{k\ge n} x_k = 1.
Portanto a sequência dos supremos das caudas é constante igual a \,1.

Passo 5

Concluir o valor do \limsup. Como a sequência dos supremos das caudas é constante igual a \,1, seu limite é \,1. Logo
\limsup_{n\to\infty} x_n = 1.

Passo 6

Calcular \inf_{k\ge n} x_k para cada n. Pelo mesmo motivo do passo anterior, cada cauda contém -1 e, portanto, o ínfimo da cauda é o menor entre \,1,0,-1, isto é, -1. Assim, para todo n,
\inf_{k\ge n} x_k = -1.
A sequência dos ínfimos das caudas é constante igual a -1.

Passo 7

Concluir o valor do \liminf. Como a sequência dos ínfimos das caudas é constante igual a -1, seu limite é -1. Logo
\liminf_{n\to\infty} x_n = -1.

Passo 8

Concluir sobre convergência e pontos de acumulação. Uma sequência converge se, e somente se, \limsup e \liminf existem e são iguais. Aqui \limsup_{n\to\infty} x_n = 1 e \liminf_{n\to\infty} x_n = -1, que são diferentes; portanto a sequência \left(x_n\right) não converge. Além disso, como cada um dos valores \,1,0,-1 aparece infinitas vezes, cada um é um ponto de acumulação (limite de alguma subsequência). Assim o conjunto de pontos de acumulação (subsequential limits) é \{1,0,-1\}. Finalmente, a sequência é limitada, pois todos os seus termos satisfaçam |x_n|\le 1.

Resposta

\limsup_{n\to\infty} x_n = 1
\liminf_{n\to\infty} x_n = -1
Conclusão: a sequência não converge; conjunto de pontos de acumulação =\{1,0,-1\}; a sequência é limitada ( |x_n|\le 1).

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