Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com os termos escritos explicitamente como
ou seja, a sequência repete ciclicamente os valores
.
2) Encontrar .
3) Dizer o que se pode concluir sobre a sequência (por exemplo: converge? quais são os pontos de acumulação? ela é limitada?).
2) Encontrar
3) Dizer o que se pode concluir sobre a sequência
Listei todas as informações relevantes: a sequência é periódica de período
e seus valores são somente
, cada um aparecendo infinitas vezes.)
Passo 2
Definição e ideia prática de
e
. Vou dar as fórmulas e explicar em palavras:
O que isso significa na prática: para cada
olhamos todos os termos da sequência a partir de
(isto é, a cauda
). Tomamos o maior desses valores (o supremo da cauda) e obtemos uma nova sequência (dos supremos das caudas). O
é o limite dessa nova sequência. De modo análogo para o
com os ínfimos das caudas. Essas quantidades medem, respectivamente, o maior valor limite que a sequência pode “atingir” por subsequências e o menor valor limite.
Passo 3
Identificar explicitamente os valores possíveis e sua frequência. A sequência só assume os valores
e, por ser periódica de período
, cada um desses valores aparece infinitely vezes. Em particular, para qualquer índice
existe algum
tal que
; também existe algum
tal que
; e existe algum
com
.
Passo 4
Calcular
para cada
. Como a cauda a partir de qualquer
contém sempre os três valores
, o supremo dessa cauda é o maior entre esses três valores, que é
. Logo, para todo
,
Portanto a sequência dos supremos das caudas é constante igual a
.
Passo 5
Concluir o valor do
. Como a sequência dos supremos das caudas é constante igual a
, seu limite é
. Logo
Passo 6
Calcular
para cada
. Pelo mesmo motivo do passo anterior, cada cauda contém
e, portanto, o ínfimo da cauda é o menor entre
, isto é,
. Assim, para todo
,
A sequência dos ínfimos das caudas é constante igual a
.
Passo 7
Concluir o valor do
. Como a sequência dos ínfimos das caudas é constante igual a
, seu limite é
. Logo
Passo 8
Concluir sobre convergência e pontos de acumulação. Uma sequência converge se, e somente se,
e
existem e são iguais. Aqui
e
, que são diferentes; portanto a sequência
não converge. Além disso, como cada um dos valores
aparece infinitas vezes, cada um é um ponto de acumulação (limite de alguma subsequência). Assim o conjunto de pontos de acumulação (subsequential limits) é
. Finalmente, a sequência é limitada, pois todos os seus termos satisfaçam
.
Resposta
Conclusão: a sequência não converge; conjunto de pontos de acumulação