Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos se a série
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- Os termos gerais são
. - Não foi especificado o índice inicial; isso não altera a classificação (se começar em
ou a natureza de convergência é a mesma). - Cada termo
é positivo para todo .
Passo 2
Conceitos necessários (explicados de forma simples):
- Uma série
converge absolutamente se a série dos valores absolutos converge. Para séries de termos positivos, , então “convergência” e “convergência absoluta” coincidem. Ou seja, para séries positivas, basta mostrar que converge para concluir que ela converge absolutamente. - Convergência condicional ocorre quando
converge mas diverge; isso só pode acontecer quando os não são todos de mesmo sinal (há sinais alternados). Como aqui os termos são todos positivos, não há possibilidade de convergência condicional — ou converge absolutamente ou diverge.
Passo 3
Escolha do método:
- Para séries com fatorial no denominador e potência no numerador, o teste da razão (teste de d’Alembert) é uma escolha natural e eficiente: ele costuma dar um limite simples que mostra convergência. Vou usar o teste da razão porque é direto e fácil de calcular aqui; outros métodos (comparação com série conhecida, por exemplo) também funcionariam, mas seriam menos imediatos.
Passo 4
Enunciado do teste da razão e aplicação:
- O teste da razão diz: para
, calcule
Se
a série
converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
- Aqui
. Então
Calcule a razão:
Passo 5
Cálculo do limite e conclusão pelo teste:
- Agora tomamos o limite quando
:
- Como
, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso também implica que a série converge (de fato, converge de forma absoluta).
Passo 6
Comentário adicional (didático, para fixar a ideia):
- Uma observação útil: a série completa de potências da exponencial dá
Logo, se a soma for tomada desde
a soma vale
; se for desde
vale
. Isso confirma a convergência fortemente (além da conclusão do teste da razão).
- Exemplo análogo e simples:
converge porque é a expansão de ; o comportamento de no denominador domina qualquer potência fixa .
Resposta
Converge absolutamente.