Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum \frac{100^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos se a série
\sum \frac{100^{n}}{n!}
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Os termos gerais são a_n=\dfrac{100^{n}}{n!}.
  • Não foi especificado o índice inicial; isso não altera a classificação (se começar em n=0 ou n=1 a natureza de convergência é a mesma).
  • Cada termo a_n é positivo para todo n.

Passo 2

Conceitos necessários (explicados de forma simples):
  • Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge. Para séries de termos positivos, |a_n|=a_n, então “convergência” e “convergência absoluta” coincidem. Ou seja, para séries positivas, basta mostrar que \sum a_n converge para concluir que ela converge absolutamente.
  • Convergência condicional ocorre quando \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge; isso só pode acontecer quando os a_n não são todos de mesmo sinal (há sinais alternados). Como aqui os termos são todos positivos, não há possibilidade de convergência condicional — ou converge absolutamente ou diverge.

Passo 3

Escolha do método:
  • Para séries com fatorial no denominador e potência no numerador, o teste da razão (teste de d’Alembert) é uma escolha natural e eficiente: ele costuma dar um limite simples que mostra convergência. Vou usar o teste da razão porque é direto e fácil de calcular aqui; outros métodos (comparação com série conhecida, por exemplo) também funcionariam, mas seriam menos imediatos.

Passo 4

Enunciado do teste da razão e aplicação:
  • O teste da razão diz: para a_n>0, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Aqui a_n=\dfrac{100^{n}}{n!}. Então
a_{n+1}=\frac{100^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Calcule a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{100^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{100^{n}}{n!}} = \frac{100^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{100^n} = \frac{100}{n+1}.

Passo 5

Cálculo do limite e conclusão pelo teste:
  • Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{100}{n+1}=0.
  • Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso também implica que a série converge (de fato, converge de forma absoluta).

Passo 6

Comentário adicional (didático, para fixar a ideia):
  • Uma observação útil: a série completa de potências da exponencial dá
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{100^{n}}{n!}=e^{100}.
Logo, se a soma for tomada desde n=0 a soma vale e^{100}; se for desde n=1 vale e^{100}-1. Isso confirma a convergência fortemente (além da conclusão do teste da razão).
  • Exemplo análogo e simples: \sum \dfrac{1}{n!} converge porque é a expansão de e; o comportamento de n! no denominador domina qualquer potência fixa 100^n.

Resposta

Converge absolutamente.

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