Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum \frac{1}{\left(n+(-1)^{n}\right)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a série
\sum \frac{1}{\left(n+(-1)^{n}\right)^{2}}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge, justificando.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{\left(n+(-1)^{n}\right)^{2}}.
  • Observação importante: para n=1 temos n+(-1)^n=1+(-1)=0, o que tornaria a_1 indefinido. Portanto vamos considerar a série a partir de n=2; isto é, a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n+(-1)^{n}\right)^{2}}.
  • Vou usar apenas essas informações (nenhuma outra hipótese escondida).

Passo 2

Definições e ideia do que checar (breve aula):
  • Dizemos que uma série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge.
  • Dizemos que converge condicionalmente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
  • Se \sum a_n não converge, dizemos que diverge.
  • No nosso caso, para n\ge 2 os termos a_n são positivos, pois são recíprocos de quadrados. Logo |a_n|=a_n. Isso implica que, aqui, “convergência” e “convergência absoluta” são a mesma coisa: se \sum a_n converge então já converge absolutamente.

Passo 3

Escolha do método (pequena justificativa didática):
  • A expressão lembra uma série do tipo 1/n^{2} (uma p-série com p=2), que é conhecida por convergir.
  • Uma boa ferramenta para comparar séries quando os termos têm comportamento similar é o teste da comparação limite (limit comparison test). Vou comparar a_n=\dfrac{1}{(n+(-1)^n)^2} com b_n=\dfrac{1}{n^2}.
  • Lembre: o teste da comparação limite diz que se b_n>0 e \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=L com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 4

Aplicando o teste da comparação limite (cálculo do limite):
Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{(n+(-1)^n)^2}}{\dfrac{1}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{\,n+(-1)^n\,}\right)^{2}.
Agora examine o fator interno:
\frac{n}{\,n+(-1)^n\,}= \frac{1}{1+\dfrac{(-1)^n}{n}}.
Quando n\to\infty, \dfrac{(-1)^n}{n}\to 0 (pois (-1)^n é bounded e dividindo por n vai a 0). Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\,n+(-1)^n\,}=1,
e, elevando ao quadrado,
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{\,n+(-1)^n\,}\right)^{2}=1.
Logo o limite L do teste da comparação limite existe e vale 1, um número positivo e finito.

Passo 5

Conclusão a partir do teste e conhecimento sobre p-séries:
  • A série comparadora \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{2}} é a p-série com p=2, e sabemos que ela converge.
  • Pelo teste da comparação limite, como \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty), a série \sum a_n=\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{(n+(-1)^n)^2} também converge.
  • Como os termos são não negativos, essa convergência já é convergência absoluta (não existe diferença entre convergir e convergir absolutamente quando os termos são não negativos).

Passo 6

Observação alternativa (opcional e didática): comparação direta por desigualdade
  • Para n\ge 2 temos |n+(-1)^n|\ge n-1, logo
\frac{1}{(n+(-1)^n)^2}\le \frac{1}{(n-1)^2}.
A série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)^2} é apenas \sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{1}{m^2} (com m=n-1), que converge. Portanto por comparação direta a série original converge. Esta é outra forma simples de chegar à mesma conclusão.

Resposta

Converge absolutamente.

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