Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a série
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge, justificando.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Observação importante: para
temos , o que tornaria indefinido. Portanto vamos considerar a série a partir de ; isto é, a série
- Vou usar apenas essas informações (nenhuma outra hipótese escondida).
Passo 2
Definições e ideia do que checar (breve aula):
- Dizemos que uma série
converge absolutamente se a série converge. - Dizemos que converge condicionalmente se
converge mas diverge. - Se
não converge, dizemos que diverge. - No nosso caso, para
os termos são positivos, pois são recíprocos de quadrados. Logo . Isso implica que, aqui, “convergência” e “convergência absoluta” são a mesma coisa: se converge então já converge absolutamente.
Passo 3
Escolha do método (pequena justificativa didática):
- A expressão lembra uma série do tipo
(uma p-série com ), que é conhecida por convergir. - Uma boa ferramenta para comparar séries quando os termos têm comportamento similar é o teste da comparação limite (limit comparison test). Vou comparar
com . - Lembre: o teste da comparação limite diz que se
e com , então e têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Passo 4
Aplicando o teste da comparação limite (cálculo do limite):
Calcule
Calcule
Agora examine o fator interno:
Quando
,
(pois
é bounded e dividindo por
vai a
). Portanto
e, elevando ao quadrado,
Logo o limite
do teste da comparação limite existe e vale
, um número positivo e finito.
Passo 5
Conclusão a partir do teste e conhecimento sobre p-séries:
- A série comparadora
é a p-série com , e sabemos que ela converge. - Pelo teste da comparação limite, como
, a série também converge. - Como os termos são não negativos, essa convergência já é convergência absoluta (não existe diferença entre convergir e convergir absolutamente quando os termos são não negativos).
Passo 6
Observação alternativa (opcional e didática): comparação direta por desigualdade
- Para
temos , logo
A série
é apenas
(com
), que converge. Portanto por comparação direta a série original converge. Esta é outra forma simples de chegar à mesma conclusão.
Resposta
Converge absolutamente.