Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor do seguinte limite:
lim x pi / 2^- 3 T g^5(x)+2 T g^3(x)+52 T g^5(x)+T g^2(x)+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtopi2^-3,tan^5(x)+2,tan^3(x)+52,tan^5(x)+tan^2(x)+1
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções quando a variável tende a um ponto em que tan(x) cresce sem limite, e vamos usar o comportamento dominante dos termos de maior grau.

Passo 2

Sabemos que quando xtotfracpi2^-, a função tan(x) tende a +infty. Portanto, definimos t=tan(x) para reescrever o limite em função de t que vai a +infty.

Passo 3

Reescrevendo a expressão em termos de t temos
3,t^5+2,t^3+52,t^5+t^2+1,
com tto+infty.

Passo 4

Para identificar o termo dominante, dividimos numerador e denominador por t^5:
3 + 2/t^2 + 5/t^52 + 1/t^3 + 1/t^5
Aqui usamos a propriedade de que, se tto+infty, então 1/t^kto0 para qualquer k>0.

Passo 5

Tomando o limite quando tto+infty, os termos 2/t^2, 5/t^5, 1/t^3 e 1/t^5 vão a zero, sobrando
3+0+02+0+0=32

Resposta

32

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