Seja f(x, y, z)=x^3 y^2 z^4+2 x y+z. Calcule as derivadas parciais de primeira de ordem de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x^3y^2z^4+2xy+z
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x, y e z. Para isso, vamos usar que, ao diferenciar em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes, aplicando a regra do poder ( d(x^n)/dx=n,x^n-1) e a linearidade da derivada.

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
Para o termo x^3y^2z^4, y e z são constantes, então
partialpartial xl(x^3y^2z^4r) =3x^2y^2z^4
Para o termo 2xy, vem
partialpartial x(2xy)=2y,
e para z a derivada é zero. Assim,
partial fpartial x =3x^2y^2z^4+2y

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
No termo x^3y^2z^4, x e z são constantes, então
partialpartial yl(x^3y^2z^4r) =2x^3y,z^4
No termo 2xy,
partialpartial y(2xy)=2x,
e z again dá zero. Logo,
partial fpartial y =2x^3y,z^4+2x

Passo 4

Calcular partial fpartial z.
Para x^3y^2z^4, x e y são constantes, então
partialpartial zl(x^3y^2z^4r) =4x^3y^2z^3
O termo 2xy contribui com zero e partial z/partial z=1. Portanto,
partial fpartial z =4x^3y^2z^3+1

Resposta

partial fpartial x=3x^2y^2z^4+2y
partial fpartial y=2x^3y,z^4+2x
partial fpartial z=4x^3y^2z^3+1

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