Dizemos que uma função
é homogênea se
.
Mostre que as funções
e
são homogêneas.
Mostre que as funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções homogêneas. Basicamente, uma função $ z = f(x, y) $ é considerada homogênea se, quando a gente multiplica as variáveis $ x $ e $ y $ por qualquer número $ t $ diferente de zero, o resultado da função não muda. Ou seja, $ f(t x, t y) = f(x, y) $ para todo $ t \neq 0 $.
Hoje, vamos analisar duas funções para ver se elas são homogêneas:
- $ f(x, y) = \frac{x}{y} $
- $ g(x, y) = \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $
Para isso, vamos substituir $ x $ e $ y $ por $ t x $ e $ t y $ nas funções e ver se o resultado permanece igual à função original.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a função $ f(x, y) = \frac{x}{y} $. A gente substitui $ x $ por $ t x $ e $ y $ por $ t y $:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa fração. Tanto o numerador quanto o denominador têm um $ t $, então eles se cancelam:
Isso mostra que $ f(t x, t y) = f(x, y) $, ou seja, a função $ f $ não muda quando multiplicamos $ x $ e $ y $ por $ t $.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda função $ g(x, y) = \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $. Substituímos $ x $ por $ t x $ e $ y $ por $ t y $:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos $ t x $ e $ t y $ ao quadrado:
Passo 6
Agora, percebemos que $ t^{2} $ é um fator comum no numerador e no denominador. Podemos fatorar $ t^{2} $:
Isso mostra que $ g(t x, t y) = g(x, y) $, ou seja, a função $ g $ também não muda quando multiplicamos $ x $ e $ y $ por $ t $.
Resposta
As funções $ f(x, y) = \frac{x}{y} $ e $ g(x, y) = \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $ são homogêneas porque, ao substituir $ x $ e $ y $ por $ t x $ e $ t y $, respectivamente, as funções permanecem iguais a suas formas originais.