Dizemos que uma função z=f(x, y) é homogênea se f(t x, t y)=f(x, y), forall t R-0.
Mostre que as funções f(x, y)=xy e g(x, y)=x^2x^2+y^2 são homogêneas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções homogêneas. Basicamente, uma função $ z = f(x, y) $ é considerada homogênea se, quando a gente multiplica as variáveis $ x $ e $ y $ por qualquer número $ t $ diferente de zero, o resultado da função não muda. Ou seja, $ f(t x, t y) = f(x, y) $ para todo $ t \neq 0 $.
Hoje, vamos analisar duas funções para ver se elas são homogêneas:
  1. $ f(x, y) = \frac{x}{y} $
  2. $ g(x, y) = \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $
Para isso, vamos substituir $ x $ e $ y $ por $ t x $ e $ t y $ nas funções e ver se o resultado permanece igual à função original.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a função $ f(x, y) = \frac{x}{y} $. A gente substitui $ x $ por $ t x $ e $ y $ por $ t y $:
f(x, y) = xy

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa fração. Tanto o numerador quanto o denominador têm um $ t $, então eles se cancelam:
t
Isso mostra que $ f(t x, t y) = f(x, y) $, ou seja, a função $ f $ não muda quando multiplicamos $ x $ e $ y $ por $ t $.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda função $ g(x, y) = \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $. Substituímos $ x $ por $ t x $ e $ y $ por $ t y $:
g(x, y) = x^2x^2 + y^2

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos $ t x $ e $ t y $ ao quadrado:
t x

Passo 6

Agora, percebemos que $ t^{2} $ é um fator comum no numerador e no denominador. Podemos fatorar $ t^{2} $:
t^2
Isso mostra que $ g(t x, t y) = g(x, y) $, ou seja, a função $ g $ também não muda quando multiplicamos $ x $ e $ y $ por $ t $.

Resposta

As funções $ f(x, y) = \frac{x}{y} $ e $ g(x, y) = \frac{x{2}}{x{2} + y^{2}} $ são homogêneas porque, ao substituir $ x $ e $ y $ por $ t x $ e $ t y $, respectivamente, as funções permanecem iguais a suas formas originais.

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