Seja
f(x, y)=ll x^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Verifique se a função f(x, y) é contínua em R^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, definida da seguinte maneira:
f(x, y)
O exercício quer saber se essa função é contínua em todo o plano $ \mathbb{R}^{2} $, ou seja, especialmente no ponto $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar o limite da função nesse ponto.

Passo 2

Continuar uma função em um ponto significa que o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Matemáticamente, a função $ f(x, y) $ é contínua em $ (0,0) $ se:
(x, y)
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e ver se ele é igual a zero.

Passo 3

Para calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
f(x, y)
Onde $ r $ é a distância de $ (x, y) $ até $ (0,0) $, e $ \theta $ é o ângulo com o eixo $ x $.

Passo 4

Substituindo $ x $ e $ y $ na função $ f(x, y) $ em termos de $ r $ e $ \theta $:
x
Sabemos que $ \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 $, então simplificando:
y

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de $ f(r, \theta) = r \cos^{3}\theta $ quando $ r $ tende a zero. Observe que $ \cos^{3}\theta $ é limitado, já que $ |\cos\theta| \leq 1 $. Portanto:
f(r, theta) = r cos^3theta
À medida que $ r \to 0 $, $ |r| \to 0 $, o que implica que $ f(r, \theta) \to 0 $.

Passo 6

Como o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \to (0,0) $ é igual a zero, que é exatamente o valor de $ f(0,0) $, podemos concluir que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função $ f(x, y) $ é contínua em $ \mathbb{R}^{2} $.

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