Seja
Verifique se a função
é contínua em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, definida da seguinte maneira:
O exercício quer saber se essa função é contínua em todo o plano $ \mathbb{R}^{2} $, ou seja, especialmente no ponto $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar o limite da função nesse ponto.
Passo 2
Continuar uma função em um ponto significa que o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Matemáticamente, a função $ f(x, y) $ é contínua em $ (0,0) $ se:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e ver se ele é igual a zero.
Passo 3
Para calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Onde $ r $ é a distância de $ (x, y) $ até $ (0,0) $, e $ \theta $ é o ângulo com o eixo $ x $.
Passo 4
Substituindo $ x $ e $ y $ na função $ f(x, y) $ em termos de $ r $ e $ \theta $:
Sabemos que $ \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 $, então simplificando:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de $ f(r, \theta) = r \cos^{3}\theta $ quando $ r $ tende a zero. Observe que $ \cos^{3}\theta $ é limitado, já que $ |\cos\theta| \leq 1 $. Portanto:
À medida que $ r \to 0 $, $ |r| \to 0 $, o que implica que $ f(r, \theta) \to 0 $.
Passo 6
Como o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \to (0,0) $ é igual a zero, que é exatamente o valor de $ f(0,0) $, podemos concluir que a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x, y) $ é contínua em $ \mathbb{R}^{2} $.