Dizemos que uma função
é Lipschitz se para quaisquer
vale
para alguma constante
.
Mostre que
dada por
é Lipschitz.
Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos mostrar que f: [0,1]→[0,1], definida por f(x)=x², satisfaz a condição de Lipschitz: existe C>0 tal que para quaisquer x₁,x₂ em [0,1] vale |f(x₁)−f(x₂)|≤C|x₁−x₂|. Vamos usar a fatoração da diferença de quadrados para encontrar C.
Passo 2
Aplicar a fatoração da diferença de quadrados. Para quaisquer x₁,x₂ em [0,1] temos
Passo 3
Estimar o fator |x₁ + x₂| no domínio [0,1]. Como 0≤x₁≤1 e 0≤x₂≤1 segue que x₁ + x₂ ≤ 2. Assim
o que mostra que C=2 é uma constante de Lipschitz para f.
Resposta
A função f(x)=x² é Lipschitz em [0,1] com constante C=2.