Dizemos que uma função f: X Y é Lipschitz se para quaisquer x1, x2 in X vale ||f(x1)-f(x2)|| <= C||x1-x2|| para alguma constante C>0.
Mostre que f:[0,1] [0,1] dada por f(x)=x^2 é Lipschitz.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos mostrar que f: [0,1]→[0,1], definida por f(x)=x², satisfaz a condição de Lipschitz: existe C>0 tal que para quaisquer x₁,x₂ em [0,1] vale |f(x₁)−f(x₂)|≤C|x₁−x₂|. Vamos usar a fatoração da diferença de quadrados para encontrar C.

Passo 2

Aplicar a fatoração da diferença de quadrados. Para quaisquer x₁,x₂ em [0,1] temos
|f(x₁) - f(x₂)| = |x₁² - x₂²| = |x₁ - x₂| cdot |x₁ + x₂| ²²

Passo 3

Estimar o fator |x₁ + x₂| no domínio [0,1]. Como 0≤x₁≤1 e 0≤x₂≤1 segue que x₁ + x₂ ≤ 2. Assim
|f(x₁) - f(x₂)| ≤ |x₁ - x₂| cdot 2 = 2|x₁ - x₂|,
o que mostra que C=2 é uma constante de Lipschitz para f.

Resposta

A função f(x)=x² é Lipschitz em [0,1] com constante C=2.

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