Calcule as integrais abaixo, separando a parte par da ímpar, e usando as propriedades das integrais
integral-2^2(x cdot sin (x)) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular integral-2^2xsin(x),dx. Vamos separar a parte par e a ímpar e usar as propriedades de simetria. O assunto aqui é funções pares e ímpares e suas integrais em intervalos simétricos.

Passo 2

Para saber a paridade de f(x)=xsin(x), calculo f(-x)=-xsin(-x)=xsin(x)=f(x). Como deu igual, f é par.

Passo 3

Agora separo f nas partes par e ímpar:
fe(x)=f(x)+f(-x)2, fo(x)=f(x)-f(-x)2
Como f(x)=f(-x), fica fe(x)=f(x) e fo(x)=0.

Passo 4

Usando simetria, a integral da parte ímpar some e da parte par é o dobro de 0 a 2:
integral-2^2f(x),dx=2integral0^2xsin(x),dx

Passo 5

Agora dá pra calcular integral0^2xsin(x),dx por partes. Tomo u=x, dv=sin(x),dx, então du=dx, v=-cos(x). Logo:
integral xsin(x),dx=-xcos(x)+sin(x)

Passo 6

Avalio a primitiva entre 0 e 2:
l[-xcos(x)+sin(x)r]0^2=-2cos(2)+sin(2)-0

Passo 7

Por fim, multiplico por 2:
integral-2^2xsin(x),dx=2l(-2cos(2)+sin(2)r)=-4cos(2)+2sin(2)

Resposta

-4cos(2)+2sin(2)

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