Dizemos que uma função
é Lipschitz se para quaisquer
vale
para alguma constante
.
Mostre que
dada por
é Lipschitz.
Mostre que
Passo 1
Estamos analisando a função f: ℝ → ℝ dada por
e queremos mostrar que ela satisfaz a condição de Lipschitz, ou seja, existe uma constante
tal que para todo
valha
.
Passo 2
Começamos calculando a diferença entre as imagens de dois pontos quaisquer
e
. Temos:
Passo 3
Usando a propriedade do valor absoluto de fator comum, obtemos
Passo 4
Portanto, basta escolhermos
para que
para todo
, mostrando que
é Lipschitz.
Resposta
A função
é Lipschitz com constante
.