Dizemos que uma função f: X Y é Lipschitz se para quaisquer x1, x2 in X vale ||f(x1)-f(x2)|| <= C||x1-x2|| para alguma constante C>0.
Mostre que f: R R dada por f(x)=3 x+2 é Lipschitz.

Passo 1

Estamos analisando a função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=3x+2 e queremos mostrar que ela satisfaz a condição de Lipschitz, ou seja, existe uma constante C>0 tal que para todo x1,x2inR valha lvert f(x1)-f(x2)rvert<= Clvert x1-x2rvert.

Passo 2

Começamos calculando a diferença entre as imagens de dois pontos quaisquer x1 e x2. Temos:
lvert f(x1)-f(x2)rvert=lvert(3x1+2)-(3x2+2)rvert=lvert3x1-3x2rvert=lvert3(x1-x2)rvert

Passo 3

Usando a propriedade do valor absoluto de fator comum, obtemos
lvert3(x1-x2)rvert=3lvert x1-x2rvert

Passo 4

Portanto, basta escolhermos C=3 para que
lvert f(x1)-f(x2)rvert<=3lvert x1-x2rvert
para todo x1,x2inR, mostrando que f é Lipschitz.

Resposta

A função f(x)=3x+2 é Lipschitz com constante C=3.

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